---第五章 控制系统的频率特性分析法5.1 频率特性的基本概念一、定义与物理意义- **频率特性**线性定常系统在正弦信号作用下**稳态输出与输入的复数比**记为 \(G(j\omega)\) 或 \(\Phi(j\omega)\)。- 设输入为 \(r(t)A\sin\omega t\)则稳态输出为 \(y_{ss}(t)A|G(j\omega)|\sin(\omega t\angle G(j\omega))\)。- **幅频特性** \(A(\omega)|G(j\omega)|\)输出与输入的振幅比。- **相频特性** \(\varphi(\omega)\angle G(j\omega)\)输出与输入的相位差。二、数学表示形式\[G(j\omega) A(\omega)e^{j\varphi(\omega)} U(\omega) jV(\omega)\]- \(U(\omega)\)实频特性\(V(\omega)\)虚频特性。- 关系\(A(\omega)\sqrt{U^2V^2}\)\(\varphi(\omega)\arctan\frac{V}{U}\)。三、与传递函数的关系\[G(j\omega) G(s)\big|_{sj\omega}\]**重要前提**系统必须是**稳定的**闭环极点在左半平面否则正弦稳态响应不存在。5.2 典型环节的频率特性| 环节 | 传递函数 | 幅频特性 \(A(\omega)\) | 相频特性 \(\varphi(\omega)\) | 伯德图关键特征 || :--- | :--- | :--- | :--- | :--- || **比例** | \(K\) | \(K\) | \(0^\circ\) | 幅值\(20\lg K\) 水平线相位\(0^\circ\) 水平线 || **积分** | \(1/s\) | \(1/\omega\) | \(-90^\circ\) | 幅频斜率\(-20\text{dB/dec}\)相位恒为 \(-90^\circ\) || **惯性** | \(1/(Ts1)\) | \(1/\sqrt{1(\omega T)^2}\) | \(-\arctan(\omega T)\) | 转折频率 \(\omega1/T\)高频斜率 \(-20\text{dB/dec}\)相位从 \(0^\circ\to-90^\circ\) || **振荡** | \(1/(T^2s^22\zeta Ts1)\) | \(1/\sqrt{(1-T^2\omega^2)^2(2\zeta T\omega)^2}\) | \(-\arctan\frac{2\zeta T\omega}{1-T^2\omega^2}\) | 转折频率 \(\omega_n1/T\)高频斜率 \(-40\text{dB/dec}\)相位从 \(0^\circ\to-180^\circ\) || **一阶微分** | \(Ts1\) | \(\sqrt{1(\omega T)^2}\) | \(\arctan(\omega T)\) | 转折频率 \(\omega1/T\)高频斜率 \(20\text{dB/dec}\)相位从 \(0^\circ\to90^\circ\) || **纯微分** | \(s\) | \(\omega\) | \(90^\circ\) | 幅频斜率\(20\text{dB/dec}\)相位恒为 \(90^\circ\) || **延迟** | \(e^{-\tau s}\) | \(1\) | \(-\tau\omega\) (弧度) | 幅值恒为 \(0\text{dB}\)相位随频率无限制滞后 |**振荡环节重要性质**- 当 \(0\zeta0.707\) 时幅频特性出现谐振峰值。- 谐振频率 \(\omega_r\omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}\)谐振峰值 \(M_r\frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}}\)。- 当 \(\zeta\ge0.707\) 时不产生谐振峰值幅值随频率增大而单调减小。5.3 开环频率特性的绘制一、伯德图绘制步骤1. 将开环传递函数化为**典型环节乘积**形式求出各转折交接频率。2. 计算 \(20\lg K\)。3. 在 \(\omega1\) 处以斜率 \(-20v\text{ dB/dec}\) 画起始线\(v\) 为积分环节个数直到第一个转折频率。4. 每遇到一个转折频率按规则改变斜率- 惯性环节斜率 \(-20\text{ dB/dec}\)。- 一阶微分环节斜率 \(20\text{ dB/dec}\)。- 振荡环节斜率 \(-40\text{ dB/dec}\)。- 二阶微分环节斜率 \(40\text{ dB/dec}\)。二、极坐标图奈氏图关键点- **起点**\(\omega0\)由系统型别 \(v\) 决定。0型在实轴 \(K\) 点1型在负虚轴无穷远2型在负实轴无穷远。- **终点**\(\omega\infty\)趋于原点趋近方向由 \(n-m\) 决定\(n\) 为极点数\(m\) 为零点数。- **与负实轴的交点**令虚部为0求得。5.4 奈奎斯特Nyquist稳定判据深化一、核心公式\[Z P - 2N\]- **\(Z\)**闭环系统在右半 \(s\) 平面的极点数系统稳定要求 \(Z0\)。- **\(P\)**开环系统在右半 \(s\) 平面的极点数。- **\(N\)**开环幅相曲线\(\omega: 0\to\infty\)在 \((-1,j0)\) 点左侧负实轴上的**净穿越次数**。**稳定条件**\(Z0\)即 \(NP/2\)。二、正负穿越的严格定义- **正穿越\(N_\)**曲线随 \(\omega\) 增大**自上而下**穿过 \((-1,j0)\) 点左侧的负实轴。- **负穿越\(N_-\)**曲线随 \(\omega\) 增大**自下而上**穿过 \((-1,j0)\) 点左侧的负实轴。- **半次穿越**曲线**起始于**或**终止于** \((-1,j0)\) 点左侧负实轴分别算作半次穿越\(1/2\) 次。\[N N_ - N_-\]三、含积分环节的增补当开环传递函数含有 \(v\) 个积分环节\(1/s^v\)时奈氏曲线在 \(\omega0^\) 处不闭合需进行增补- 从 \(\omega0^\) 对应的点开始**逆时针**补画一个半径为 \(\infty\)、圆心角为 \(v\times90^\circ\) 的大圆弧至正实轴。- 增补后再用 \(ZP-2N\) 判稳。四、伯德图上的奈氏判据在 \(L(\omega)0\text{ dB}\) 的频段内观察相频曲线 \(\varphi(\omega)\) 对 \(-180^\circ\) 线的穿越- **稳定条件**正、负穿越次数之差 \(P/2\)。- **工程快速判断最小相位系统\(P0\)**- 若 \(\omega_c \omega_g\)截止频率小于相位穿越频率闭环稳定。- 若 \(\omega_c \omega_g\)闭环不稳定。5.5 稳定裕度相对稳定性一、相位裕度 \(\gamma\)- **定义**在截止频率 \(\omega_c\)\(|G(j\omega_c)|1\) 处处相频特性与 \(-180^\circ\) 的差值\[\gamma 180^\circ \varphi(\omega_c)\]- **物理意义**系统在 \(\omega_c\) 处再滞后 \(\gamma\) 度系统达到临界稳定再滞后则不稳定。- **稳定判据最小相位系统**\(\gamma0\) 稳定\(\gamma0\) 不稳定。- **工程期望值**\(\gamma 30^\circ\sim60^\circ\) 较为合适。二、幅值裕度 \(K_g\)或 \(L_g\)- **定义**在相位穿越频率 \(\omega_g\)\(\varphi(\omega_g)-180^\circ\) 处幅值的倒数\[K_g \frac{1}{|G(j\omega_g)|},\qquad L_g -20\lg|G(j\omega_g)| -L(\omega_g)\]- **物理意义**系统增益再放大 \(K_g\) 倍或增加 \(L_g\text{ dB}\)系统达到临界稳定。- **稳定判据最小相位系统**\(L_g0\text{ dB}\) 稳定\(L_g0\text{ dB}\) 不稳定。- **工程期望值**\(L_g6\text{ dB}\)。三、重要结论- 对于**最小相位系统**\(\gamma0\) 与 \(L_g0\) **同时发生或同时不发生**工程上常只用相位裕度判别稳定性。- 若 \(\omega_c \omega_g\)则 \(\gamma0\) 且 \(L_g0\text{ dB}\)系统处于**临界稳定**。5.6 三频段理论与系统性能拓展开环伯德图按频率可分为三个频段分别对应系统的不同性能| 频段 | 定义 | 反映的性能 | 设计原则 || :--- | :--- | :--- | :--- || **低频段** | 第一个转折频率之前的区段 | **稳态精度**由积分环节个数 \(v\) 和开环增益 \(K\) 决定 | 足够高以保证稳态误差要求 || **中频段** | 截止频率 \(\omega_c\) 附近的区段 | **动态性能**平稳性和快速性 | 斜率以 \(-20\text{dB/dec}\) 穿越 \(0\text{dB}\) 线且有一定宽度 \(h\)\(\omega_c\) 尽量大以加快响应 || **高频段** | 远离 \(\omega_c\) 的高频区 | **抗高频干扰能力** | 幅值尽可能低衰减越快越好 |**重要结论**- 中频段斜率若为 \(-40\text{dB/dec}\)平稳性变差若为 \(-60\text{dB/dec}\)系统可能不稳定。- 中频宽度 \(h\omega_2/\omega_1\)以 \(-20\text{dB/dec}\) 过 \(0\text{dB}\) 线段的宽度\(h\) 越大平稳性越好。5.7 闭环频率特性与频域指标一、闭环频域指标定义对于单位反馈系统闭环频率特性为\[\Phi(j\omega) \frac{G(j\omega)}{1G(j\omega)} M(\omega)e^{j\alpha(\omega)}\]| 指标 | 符号 | 定义 | 反映的性能 || :--- | :--- | :--- | :--- || **零频幅值** | \(M(0)\) | \(\omega0\) 时的闭环幅值 | 稳态精度。\(M(0)1\) 表示系统对阶跃输入无静差 || **谐振峰值** | \(M_r\) | 闭环幅频特性的最大值 | **平稳性**。\(M_r\) 越小超调量越小 || **谐振频率** | \(\omega_r\) | 出现 \(M_r\) 时的频率 | 快速性 || **带宽** | \(\omega_b\) | 闭环幅值降至 \(0.707M(0)\) 时的频率 | **快速性**。\(\omega_b\) 越大响应越快 |二、二阶系统闭环指标与开环指标的关系对于典型二阶系统\[M_r \frac{1}{2\zeta\sqrt{1-\zeta^2}} \quad (0\zeta0.707)\]\[\omega_r \omega_n\sqrt{1-2\zeta^2}\]\[\omega_b \omega_n\sqrt{(1-2\zeta^2)\sqrt{(1-2\zeta^2)^21}}\]**重要关系**\(M_r\) 与超调量 \(\sigma\%\) 正相关\(\omega_b\) 与调节时间 \(t_s\) 负相关。5.8 频域指标与时域指标的对应关系| 时域指标 | 对应开环频域指标 | 对应闭环频域指标 | 变化趋势 || :--- | :--- | :--- | :--- || **超调量 \(\sigma\%\)** | 相位裕度 \(\gamma\) | 谐振峰值 \(M_r\) | \(\gamma\uparrow \Rightarrow \sigma\%\downarrow\)\(M_r\uparrow \Rightarrow \sigma\%\uparrow\) || **调节时间 \(t_s\)** | 截止频率 \(\omega_c\) | 带宽 \(\omega_b\) | \(\omega_c\uparrow \Rightarrow t_s\downarrow\)\(\omega_b\uparrow \Rightarrow t_s\downarrow\) || **稳态误差 \(e_{ss}\)** | 低频段增益/型别 | 零频幅值 \(M(0)\) | 低频增益\(\uparrow \Rightarrow e_{ss}\downarrow\) |**二阶系统精确关系**\[\gamma \arctan\frac{2\zeta}{\sqrt{-2\zeta^2\sqrt{4\zeta^41}}}\]\[\sigma\% e^{-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}}\times100\%\]由 \(\gamma\) 可唯一确定 \(\zeta\)进而确定 \(\sigma\%\)。**高阶系统近似关系**\[\sigma\% \approx 0.16 0.4\left(\frac{1}{\sin\gamma}-1\right)\times100\%\]\[t_s \approx \frac{k\pi}{\omega_c}\]其中 \(k21.5\left(\frac{1}{\sin\gamma}-1\right)2.5\left(\frac{1}{\sin\gamma}-1\right)^2\)。5.9 常见题型与易错点提醒常见计算题型1. **求取 \(\omega_c\)、\(\gamma\)、\(L_g\)**给定开环传递函数绘制伯德图或直接由幅值/相角条件求解。2. **由稳定裕度反求参数**如给定 \(\gamma\ge45^\circ\)求 \(K\) 的范围。3. **判断闭环稳定性**利用奈氏判据极坐标图或伯德图。4. **由伯德图求传递函数**根据低频段斜率和转折频率反推 \(G(s)\)最小相位系统。易错点辨析- **截止频率 \(\omega_c\)** 是 \(|G(j\omega_c)|1\)\(0\text{dB}\)处的频率**相位穿越频率 \(\omega_g\)** 是 \(\varphi(\omega_g)-180^\circ\) 处的频率两者不要混淆。- 幅值裕度 \(L_g\) 的公式中带有**负号**\(L_g-20\lg|G(j\omega_g)|\)。- 奈氏判据中\(N\) 的正负定义**正穿越**是曲线**向下**穿过负实轴**负穿越**是曲线**向上**穿过负实轴。- 稳定裕度的正负仅对**最小相位系统**有明确的稳定/不稳定含义非最小相位系统需用奈氏判据完整判断。- 伯德图高频段斜率越负抗干扰能力越强但中频段斜率过负如 \(-60\text{dB/dec}\)可能导致不稳定。本章核心逻辑链频率特性 \(G(j\omega)\) → 绘制伯德图/奈氏图 → 奈氏判据判断稳定性 → 稳定裕度量化相对稳定性 → 三频段理论将频域特征与时域性能指标对应 → 指导系统校正设计。