命题一般质点系的惯性力系向任意固定点O 简化后它的主矩等于该质点系对此固定点的动量矩对时间的一阶导数再冠以负号。证明设质点系由nnn个质点组成第iii个质点的质量为mim_imi​相对于固定点OOO的位置矢量为ri\boldsymbol{r}_iri​速度为vi\boldsymbol{v}_ivi​加速度为ai\boldsymbol{a}_iai​。惯性力定义为FIi−miai\boldsymbol{F}_{Ii} -m_i \boldsymbol{a}_iFIi​−mi​ai​。惯性力系对固定点OOO的主矩为MIO∑i1nri×FIi∑i1nri×(−miai)−∑i1nmiri×ai. \boldsymbol{M}_{IO} \sum_{i1}^n \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{F}_{Ii} \sum_{i1}^n \boldsymbol{r}_i \times (-m_i \boldsymbol{a}_i) -\sum_{i1}^n m_i \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{a}_i.MIO​i1∑n​ri​×FIi​i1∑n​ri​×(−mi​ai​)−i1∑n​mi​ri​×ai​.质点系对固定点OOO的动量矩为LO∑i1nri×mivi. \boldsymbol{L}_O \sum_{i1}^n \boldsymbol{r}_i \times m_i \boldsymbol{v}_i.LO​i1∑n​ri​×mi​vi​.对时间求导dLOdt∑i1n(dridt×miviri×midvidt)∑i1n(vi×miviri×miai). \frac{d\boldsymbol{L}_O}{dt} \sum_{i1}^n \left( \frac{d\boldsymbol{r}_i}{dt} \times m_i \boldsymbol{v}_i \boldsymbol{r}_i \times m_i \frac{d\boldsymbol{v}_i}{dt} \right) \sum_{i1}^n \left( \boldsymbol{v}_i \times m_i \boldsymbol{v}_i \boldsymbol{r}_i \times m_i \boldsymbol{a}_i \right).dtdLO​​i1∑n​(dtdri​​×mi​vi​ri​×mi​dtdvi​​)i1∑n​(vi​×mi​vi​ri​×mi​ai​).由于vi×vi0\boldsymbol{v}_i \times \boldsymbol{v}_i 0vi​×vi​0故dLOdt∑i1nmiri×ai. \frac{d\boldsymbol{L}_O}{dt} \sum_{i1}^n m_i \boldsymbol{r}_i \times \boldsymbol{a}_i.dtdLO​​i1∑n​mi​ri​×ai​.比较两式得MIO−dLOdt. \boldsymbol{M}_{IO} -\frac{d\boldsymbol{L}_O}{dt}.MIO​−dtdLO​​.即惯性力系向任意固定点OOO简化所得的主矩等于该质点系对此固定点的动量矩对时间的一阶导数再冠以负号。证毕。