文章目录零、前言一、数学应用的重要意义二、大模型是什么与数学模型有什么关系1. 什么是大模型2. 大模型与数学模型的关系三、解决实际问题的过程四、数学建模是什么五、对原型和模型的认识1. 什么是原型2. 什么是模型3. 原型和模型的关系六、什么是数学模型1. 函数模型2. 优化模型3. 微分方程模型七、数学建模与计算机模拟八、数学模型的特点1. 目的性2. 抽象性3. 近似性4. 可计算性5. 可解释性九、数学建模的基本方法1. 机理分析法2. 数据分析法3. 类比法4. 仿真模拟法5. 优化方法十、数学建模的一般步骤1. 问题重述2. 问题分析3. 模型假设4. 符号说明5. 模型建立6. 模型求解7. 结果分析8. 模型检验9. 模型评价与推广十一、数学建模实例方桌放稳问题1. 问题描述2. 问题分析3. 合理假设4. 建立模型5. 利用连续性分析6. 模型结论7. 这个例子体现的建模思想十二、数学建模常见问题类型十三、数学建模的学习基础1. 高等数学2. 线性代数3. 概率论与数理统计4. Python 程序设计十四、Python 软件基本操作及数据预处理实验1. 常见数据预处理任务2. Python 数据读取示例3. 缺失值处理4. 数据标准化5. 数据归一化6. 简单可视化十五、数学建模工具与论文撰写1. 常用建模工具2. 数学建模论文结构3. 论文写作建议十六、数学建模的学习和参赛1. 数学建模能力构成2. 常见数学建模竞赛3. 参赛分工建议十七、初学者学习路线十八、总结零、前言不管数学的任一分支是多么抽象总有一天会应用在这实际世界上。—— 罗巴切夫斯基笔者将进行数学建模系列专栏的讲解为读者入门数学建模提供帮助。笔者此前也参加过相应的数学建模比赛只能说AI盛行的当下许多非常高水平的方法进入了竞赛许多方法笔者此前都不甚了解。但是所谓AI幻觉如果一味的借助AI进行数学建模的研究和论文的撰写不仅可能给出逻辑错误的方案白白耽误许久甚至会惰化思考的能力无法获得真正的知识连看懂自己的论文都无能为力。一、数学应用的重要意义数学不是孤立存在于课本中的公式和定理而是一种认识世界、描述世界和改造世界的重要工具。从自然科学到社会科学从工程技术到人工智能从经济管理到医学诊断数学都发挥着基础性作用。自然世界中的许多规律都可以用数学语言进行分析、刻画和预测。例如物理学中用微分方程描述物体运动经济学中用函数和优化模型研究资源配置医学中用统计模型分析疾病传播交通规划中用图论和优化算法设计最短路径人工智能中用矩阵、概率和优化理论训练模型。数学应用通常遵循一个基本过程这个过程体现了数学应用的核心思想从现实中发现问题用数学分析问题再回到现实中解决问题。数学不仅提供计算工具更重要的是提供了一种科学、理性、严谨的思维方式。二、大模型是什么与数学模型有什么关系近年来“大模型”这个词频繁出现例如 ChatGPT、通义千问、文心一言、DeepSeek 等都属于大模型。1. 什么是大模型大模型通常指参数规模巨大、训练数据庞大、能够完成多种复杂任务的人工智能模型。以语言大模型为例它可以完成文本生成翻译问答代码编写文本分类信息抽取逻辑推理辅助数据分析辅助。大模型的本质仍然是一个数学模型。它的底层依赖大量数学知识例如数学基础在大模型中的作用线性代数向量表示、矩阵运算、神经网络计算概率论词语预测、概率分布建模微积分梯度下降、参数优化最优化理论损失函数最小化信息论交叉熵、信息度量统计学数据分布、泛化能力分析简单来说大模型可以理解为一个由大量参数构成的复杂数学函数它通过训练数据学习输入与输出之间的规律。2. 大模型与数学模型的关系数学模型是一个更广泛的概念大模型是数学模型的一种特殊形式。数学模型可以是简单的公式y a x b y ax byaxb也可以是复杂的微分方程d N d t r N ( 1 − N K ) \frac{dN}{dt} rN\left(1-\frac{N}{K}\right)dtdN​rN(1−KN​)还可以是神经网络模型y f ( W x b ) y f(Wx b)yf(Wxb)大模型本质上就是一个非常庞大的函数系统它通过大量参数对现实中的语言、图像、语音、知识关系进行建模。可以这样理解因此大模型不是脱离数学而存在的相反它是数学模型在人工智能时代的一种高级表现形式。三、解决实际问题的过程数学建模关注的不是单纯做题而是解决实际问题。现实问题通常复杂、模糊、不完整不能直接套用公式。因此解决实际问题需要经历一个不断循环提升的过程。这个过程体现了数学建模的两个特点1、从现实到数学将实际问题抽象为数学问题。2、从数学回到现实将计算结果解释为实际问题中的结论或建议。例如研究“快递配送路线如何安排最节省时间”时现实问题是配送路径规划数学上可以转化为图论中的最短路径问题或旅行商问题。四、数学建模是什么数学建模就是建立数学模型并用其解决实际问题的过程。更具体地说数学建模是指对一个现实对象为了某个特定目的根据其内在规律作出必要的简化假设运用适当的数学工具得到一个能够描述、分析、预测或优化现实问题的数学结构。数学建模一般包括以下环节问题表述模型假设变量定义模型建立模型求解结果解释模型检验模型改进。数学建模不是简单地把公式写出来而是要完成从现实问题到数学表达、再从数学结果回到现实解释的全过程。五、对原型和模型的认识在数学建模中有两个重要概念原型和模型。1. 什么是原型原型就是客观存在的现实对象或实际系统。例如一个城市交通系统一家企业的生产过程一个湖泊的污染扩散过程一种传染病的传播过程一个电商平台的用户购买行为。2. 什么是模型模型是对原型的简化表示和体现。模型并不是原型的完全复制而是根据研究目的保留与目标相关的关键特征忽略次要因素。例如研究人口增长时我们不可能考虑每个人的年龄、性别、职业、健康状况等全部信息而是用一个人口数量函数来描述总体变化趋势。3. 原型和模型的关系原型和模型是一对对偶体。模型来源于原型又服务于原型。模型越能抓住原型的关键规律就越具有应用价值。六、什么是数学模型数学模型是用数学语言对现实对象或系统某种特征、本质规律的表达。它可以表现为数学公式函数关系方程微分方程差分方程图形矩阵算法计算机程序。例如1. 函数模型商品销量与价格之间可能存在关系Q a − b p Q a - bpQa−bp其中Q QQ表示销量p pp表示价格a , b a,ba,b为参数。2. 优化模型企业希望利润最大化max ⁡ Z 5 x 1 3 x 2 \max Z 5x_1 3x_2maxZ5x1​3x2​约束条件为2 x 1 x 2 ≤ 100 2x_1 x_2 \leq 1002x1​x2​≤100x 1 x 2 ≤ 80 x_1 x_2 \leq 80x1​x2​≤80x 1 , x 2 ≥ 0 x_1, x_2 \geq 0x1​,x2​≥03. 微分方程模型人口增长可以用 Logistic 模型描述d N d t r N ( 1 − N K ) \frac{dN}{dt} rN\left(1-\frac{N}{K}\right)dtdN​rN(1−KN​)其中N NN表示人口数量r rr表示增长率K KK表示环境容量。七、数学建模与计算机模拟随着计算机技术的发展数学建模越来越依赖计算机求解和模拟。计算机模拟是指根据实际系统或过程的特性按照一定的数学规律用计算机程序语言模拟实际运行状况并依据大量模拟结果对系统或过程进行定量分析。计算机模拟具有以下优点优点说明成本低不需要直接在真实环境中反复实验时间短可以快速模拟长期变化过程可重复性强同一模型可以多次运行并比较结果灵活性强可以调整参数观察不同条件下的变化安全性高适合模拟灾害、疫情、交通拥堵等复杂场景例如在研究传染病传播时可以通过计算机模拟不同传播率、防控措施和人群流动条件下的感染人数变化而不需要在现实社会中进行危险实验。八、数学模型的特点数学模型通常具有以下特点。1. 目的性模型是为了某个具体目的而建立的。例如同样是研究城市交通如果目的是减少拥堵可以建立交通流模型如果目的是优化配送可以建立路径优化模型如果目的是预测客流可以建立时间序列预测模型。不同目的对应不同模型。2. 抽象性模型并不完全复制现实而是抽象出现实中的关键因素。现实系统越复杂越需要进行抽象和简化。3. 近似性任何模型都不可能百分之百等同于现实。模型只是对现实规律的一种近似表达。因此建模结果需要进行检验和修正。4. 可计算性一个好的模型不仅要能描述问题还要能够求解。如果模型过于复杂无法计算或难以解释就会影响实际应用。5. 可解释性数学建模不仅要得到结果还要说明结果为什么合理、对现实有什么意义。九、数学建模的基本方法从方法论角度看数学建模常用方法包括以下几类。1. 机理分析法根据问题本身的内在规律建立模型。例如根据牛顿运动定律建立力学模型根据质量守恒建立污染扩散模型根据传染病传播规律建立 SIR 模型。适合自然科学和工程类问题。2. 数据分析法当问题机理不清楚但有大量数据时可以通过数据寻找规律。例如用回归分析预测房价用聚类算法划分用户群体用机器学习模型识别风险等级。适合数据驱动型问题。3. 类比法将一个熟悉领域中的模型迁移到类似问题中。例如用物理扩散模型研究信息传播用生态竞争模型研究企业竞争用传染病模型研究谣言传播。4. 仿真模拟法当系统复杂、难以直接求解时通过计算机模拟系统运行过程。例如交通流仿真排队系统仿真疫情传播仿真蒙特卡洛模拟。5. 优化方法当问题具有明确目标和约束时可以建立优化模型。例如最短路径问题生产计划问题资源分配问题投资组合优化问题。十、数学建模的一般步骤数学建模的一般步骤可以总结为1. 问题重述用自己的语言重新描述题目明确要解决的核心问题。2. 问题分析分析问题类型判断是评价、预测、优化、分类还是仿真问题。3. 模型假设对现实问题进行合理简化。常见假设包括数据真实可靠外部环境短期内保持稳定忽略极端异常因素主要变量能够反映问题本质。4. 符号说明定义变量和参数使模型表达更加规范。5. 模型建立根据问题特征选择合适模型写出数学表达式。6. 模型求解使用数学方法或 Python、MATLAB 等工具进行计算。7. 结果分析解释计算结果说明其现实意义。8. 模型检验检验模型的准确性、稳定性和合理性。9. 模型评价与推广分析模型优缺点并说明模型还能应用到哪些类似问题中。这也是数学建模竞赛中论文的一般写法十一、数学建模实例方桌放稳问题下面用一个经典问题说明数学建模的基本思想。1. 问题描述有一张四条腿的方桌放在不平整的地面上。问是否总能通过旋转桌子使四条腿同时着地这个问题看似生活化但可以用数学建模思想进行分析。2. 问题分析现实中地面可能高低不平桌子四条腿可能不能同时接触地面。但是当我们旋转方桌时四条腿与地面的接触情况会发生变化。我们需要证明在一定合理条件下总能找到一个角度使方桌放稳。3. 合理假设为了便于分析可以提出以下假设方桌是刚性的不会发生形变四条腿长度相同地面高度连续变化没有突然断裂桌子旋转过程中桌面始终保持水平趋势桌腿与地面的接触状态可以用连续函数描述。4. 建立模型设桌子旋转角度为θ \thetaθ。把四条桌腿分成两组对角线第一组对角腿高度差记为f ( θ ) f(\theta)f(θ)第二组对角腿高度差记为g ( θ ) g(\theta)g(θ)。由于桌子是方形旋转90 ∘ 90^\circ90∘后两组对角线的位置会互换。因此可以得到类似关系f ( θ 90 ∘ ) − f ( θ ) f(\theta 90^\circ) -f(\theta)f(θ90∘)−f(θ)这说明当桌子旋转90 ∘ 90^\circ90∘时某一组对角腿的高度差符号发生变化。5. 利用连续性分析由于地面高度连续f ( θ ) f(\theta)f(θ)也是连续变化的。如果f ( 0 ) 0 f(0) 0f(0)0而旋转90 ∘ 90^\circ90∘后f ( 90 ∘ ) 0 f(90^\circ) 0f(90∘)0根据连续函数的介值定理必然存在某个角度θ 0 \theta_0θ0​使得f ( θ 0 ) 0 f(\theta_0) 0f(θ0​)0这意味着在该角度下对角腿的高度差为零方桌可以放稳。6. 模型结论在合理假设下只要地面高度连续就总可以通过旋转方桌使四条腿同时接触地面从而使方桌放稳。7. 这个例子体现的建模思想方桌放稳问题体现了数学建模中的几个关键思想建模环节在本例中的体现现实问题方桌在不平地面上能否放稳合理假设桌子刚性、地面连续、桌腿等长数学抽象用角度和高度差函数描述问题数学工具连续函数、介值定理现实解释通过旋转桌子找到稳定位置这个例子说明数学建模并不一定从复杂公式开始而是从对现实问题的合理抽象开始。十二、数学建模常见问题类型数学建模题目虽然背景不同但通常可以归纳为以下几类。问题类型典型任务常用方法评价类综合评价、排序AHP、熵权法、TOPSIS、灰色关联分析预测类预测未来趋势回归分析、时间序列、灰色预测、机器学习优化类求最优方案线性规划、整数规划、遗传算法、粒子群算法分类类判断类别Logistic 回归、决策树、随机森林、SVM聚类类自动分组K-means、层次聚类、DBSCAN仿真类模拟系统运行蒙特卡洛模拟、元胞自动机、系统动力学图论类网络与路径分析最短路径、最小生成树、最大流这个表笔者认为可以好好学习一下理清方法与问题任务的对应关系。十三、数学建模的学习基础学习数学建模需要具备一定的数学基础和编程能力。1. 高等数学高等数学主要用于分析连续变化问题。重点内容包括函数极限导数积分多元函数极值问题微分方程。典型应用优化问题增长模型动态系统曲线拟合。2. 线性代数线性代数主要用于处理多维数据和矩阵运算。重点内容包括矩阵向量线性方程组特征值与特征向量矩阵分解。典型应用主成分分析机器学习图像处理多指标评价。3. 概率论与数理统计概率统计主要用于处理随机性和不确定性。重点内容包括随机变量概率分布数字特征参数估计假设检验回归分析。典型应用数据分析风险评估预测建模模型检验。4. Python 程序设计Python 是数学建模中非常重要的工具。常用库包括Python库作用NumPy数值计算Pandas数据处理Matplotlib数据可视化SciPy科学计算与优化Scikit-learn机器学习Statsmodels统计建模NetworkX图论建模PuLP / OR-Tools规划与优化十四、Python 软件基本操作及数据预处理实验在数学建模中数据预处理是非常关键的一步。很多模型效果不好并不是模型本身不行而是数据没有处理好。1. 常见数据预处理任务包括读取数据查看数据基本信息缺失值处理异常值处理数据标准化数据归一化数据可视化特征选择。2. Python 数据读取示例importpandasaspd# 读取 Excel 文件datapd.read_excel(data.xlsx)# 查看前五行print(data.head())# 查看数据基本信息print(data.info())# 查看描述性统计print(data.describe())3. 缺失值处理# 查看每一列缺失值数量print(data.isnull().sum())# 使用均值填充缺失值datadata.fillna(data.mean(numeric_onlyTrue))# 删除缺失值较多的行datadata.dropna()4. 数据标准化标准化常用于消除量纲影响。fromsklearn.preprocessingimportStandardScaler scalerStandardScaler()data_scaledscaler.fit_transform(data)标准化公式为z x − μ σ z \frac{x - \mu}{\sigma}zσx−μ​其中μ \muμ是均值σ \sigmaσ是标准差。5. 数据归一化归一化通常将数据映射到[ 0 , 1 ] [0,1][0,1]区间。fromsklearn.preprocessingimportMinMaxScaler scalerMinMaxScaler()data_normscaler.fit_transform(data)归一化公式为x ′ x − x min ⁡ x max ⁡ − x min ⁡ x \frac{x - x_{\min}}{x_{\max} - x_{\min}}x′xmax​−xmin​x−xmin​​6. 简单可视化importmatplotlib.pyplotasplt data.hist(figsize(10,8))plt.show()通过可视化可以直观观察数据分布、异常值和变化趋势。十五、数学建模工具与论文撰写1. 常用建模工具工具适用场景Python数据处理、算法实现、机器学习、可视化MATLAB矩阵运算、数值仿真、工程建模Excel简单数据整理、图表绘制SPSS统计分析、问卷数据处理R统计建模、数据可视化LaTeX高质量论文排版Word常规论文写作2. 数学建模论文结构一篇完整的数学建模论文通常包括3. 论文写作建议数学建模论文要注意摘要要突出方法、结果和结论问题分析要清楚说明建模思路模型假设要合理不能随意假设符号说明要规范模型建立要有公式、有解释结果分析要结合实际背景图表要清晰美观代码放在附录中不能只堆模型要体现逻辑。十六、数学建模的学习和参赛学习数学建模不能只停留在理论层面还需要通过实践不断提升。1. 数学建模能力构成2. 常见数学建模竞赛国内外常见数学建模竞赛包括竞赛名称简介全国大学生数学建模竞赛国内影响力较大的数学建模竞赛美国大学生数学建模竞赛 MCM/ICM国际影响力较大的建模竞赛MathorCup 高校数学建模挑战赛偏重实际应用和数据分析华数杯数学建模竞赛适合数学建模训练和实践认证杯数学建模竞赛适合初学者积累经验亚太地区大学生数学建模竞赛面向亚太地区高校学生3. 参赛分工建议一个数学建模团队通常由三人组成可以按如下方式分工角色主要任务建模手分析问题、建立数学模型编程手数据处理、算法实现、结果计算论文手论文撰写、图表排版、结果解释实际比赛中三个人不能完全割裂每个人都应该理解整体思路。十七、初学者学习路线对于初学者可以按照以下路线学习数学建模推荐学习顺序1、学习 Python 基础2、掌握 NumPy、Pandas、Matplotlib3、学习评价类模型如熵权法、TOPSIS4、学习预测类模型如回归分析、灰色预测5、学习优化类模型如线性规划、遗传算法6、学习机器学习基础模型7、阅读优秀论文8、独立完成真题训练9、参加数学建模竞赛。十八、总结数学建模是一门连接数学、计算机和现实问题的综合性学科。它的核心不是背公式也不是简单套模型而是发现问题、分析问题、抽象问题、建立模型、求解模型、解释结果、检验改进。数学建模的价值在于它为我们认识世界和改造世界提供了一种科学理性的工具。所谓高科技在很大程度上就是数学技术的现代化应用。从传统的微分方程、优化模型到如今的机器学习、大模型和人工智能数学始终是背后的基础语言。对于初学者来说学习数学建模应当重视以下几点打好数学基础掌握 Python 编程理解常见模型多做实际案例重视论文表达不断总结复盘。数学建模不是一蹴而就的能力而是在不断解决实际问题的过程中逐渐形成的一种综合素养。后续文章将继续介绍数学建模中的常见方法包括数据预处理熵权法TOPSIS 综合评价法灰色关联分析回归预测模型时间序列模型线性规划遗传算法数学建模论文写作方法。