孩子已经做疯了离散的性质和定义实在太多了而且层层套娃。所有离散证明题都是翻译题都是先找到结论的等价翻译再找条件的等价翻译接着利用条件所满足的性质推证。因此难点在于Ⅰ 有哪些翻译 Ⅱ 选择哪个翻译我们本节提供 性质这个条件可以翻译为什么以及定理什么条件可以推他性质于定理 逻辑关系链陪集不是靠子群H分割的而是通过g∈G分割的正式我们通过遍历g得到了所有子群H的陪集gH而g是双射因此|gH||H|同时有陪集之间互不相交或相同也就是说陪集用g将G分割成n个等势的子集有 |G|n|H|这个n就是指数得到子群的阶一定是大群的因数对于循环群循环群的子群一定是子群有限群中如果存在一个元素的阶等于群的阶则该群是循环群循环群证明存在一个生成元生成元的周期是群的阶即 生成元复合 群的阶 次回到e走过的路就是这个循环群一、循环群的证明性质生成元的周期其循环群的阶循环群同构于整数加法群循环群子群为循环循环群都是阿贝尔群证明夹逼r到0TRANS-AM存在一个生成元生成元的周期等于群的阶。 即或直观理解生成元走n步回到原点这n步的足迹构成了这个循环群。示例G为pq阶阿贝尔群pq为素数a、b∈G且|a|p|b|q证明G为循环群:置换群性质置换群的元素是自同构的部分满足群的条件的置换关系构成置换群对称群的置换群的特殊情况指有限集上所有的置换关系对称群的大小是ncayleyn阶群必同构于一个n次置换群直观理解置换是原群元素的变化关系这些关系构成的集合就是置换群每个原群元素对应一个独有的变化关系因此是双射的易证保持同态因此是同构的陪集a∈Hb右同余a∈bH左同余同余关系定义陪集满足左同余关系abH的所有bh构成的集合bH就是左陪集翻译aH[a]{ah|a∈G, h∈H}性质eHHaHHa∈HaHbHb^(-1)a∈H商集陪集是对大群的一种划分一个大群有多少种陪集就是有多少种划分方式即有多少个商集商集就是不同陪集的集合。同余关系就是等价关系等价关系划分出的类就是等价类在这里是陪集等价类恰好把原群划分因此陪集也恰好把原群划分划分数相等左陪集数和右陪集数总是相等且这个数量被称为 G 关于 H 的指数 [G:H]。由此大群被指数个陪集划分有大群的势Σ陪集的势因为陪集等大因此拉格朗日定理得证大群大小陪集的个数X陪集大小大群子群大小X整数因此得到 子群的阶一定是大群阶的因数下证左右陪集等大 陪集于原群等大陪集是子群各元素的左右乘映射是双射拉格朗日素数阶群 必为 循环群循环群证 存在a生成元生成元的阶群的阶 |a||G|元素 g 的阶记作∣g∣循环群的阶子群的阶 必须整除群的阶 ∣G∣素数阶群的的划分数唯一正规子群翻译Ⅰ aHHaⅡ 群的中心满足共轭 hgh^(-1)∈GⅢ ha必存在h使得haah成立性质正规子群对称性高于元素交换律商集商集是关系对集合的划分正规子群左右陪集、商集一致 G/H商群商群就是陪集的集合集合族商集是正规子群对群的划分商集上的运算是通过G的运算*定义的aH。bH(a*b)HaH是陪集 bH是陪集 运算得出的也的是陪集用(a*b)H特别的 需要证明唯一性aHcH bHdH 则abHcdH 即证明陪集相等——》b-1a∈H即结果推条件商群的单位元是eH一般多运算群律的证明都是先用本群律再调用定义群的性质实现不知道如何满足则设b满足反解b求单位元aH∈G/H 假设bH为单位元则根据定义 bH·aHaH (ba)HaHbaa,be所以eH为单位元求逆元aH∈G/H 假设bH为其逆元则根据定义aH·bHeH (ab)HeH, abe ba-1子集乘积结合律子集乘法任意子群都是幂等元群定理谁能推导他代数系统-》群G为群 H为代数系统若存在G到H满同态 则H为群半群-》群存在左单位元 存在左逆元有限半群-》群消去律成立他能推出谁性质结合律、单位元、逆元、封闭性消去律成立单位元是唯一幂等元群同态群则单位元映射后也为单位元群运算表的行列都是元素的全排列子群定理子集-》子群H非空子集 G大群1a*b∈H 封闭2H逆元存在且属于H 逆元 单位元或1a*b^(-1)∈H性质子群阶是大群阶因子——拉格朗日同单位元 同逆元同态与同构同态验证式子同构同态运算双射含逆的解决方案同乘消去双逆再逆ab[a-1b-1]-1ba交换律 P87同态的证明子群相关证明由子群或群关系推出的结论往往会用到以下策略Ⅰ 群关系的继承Ⅱ 相等关系互包含关系 证明Ⅲ