简介面向统计学课程实验与回归分析入门学习的课程论文文档围绕人口数量预测这一具体问题串联指标选择、样本确定、模型建立与诊断的完整流程。文档共1个doc文件压缩包约442KB以论文正文形式组织包含摘要、前言、章节正文、结论与参考文献便于按目录结构查阅和引用。已有395人学习下载说明其在课程实验与论文参考场景中具有一定使用价值。内容从一元线性回归入手涉及总人口与粮食产量散点图、理论模型设定与回归诊断进而扩展到多元线性回归涵盖数据中心化标准化、逐步回归、多重共线性检测与主成分分析并补充曲线回归拟合与Logistic模型等非线性方法。读者可据此理解回归分析在人口预测中的建模思路、指标选择与结果解释也可作为统计系课程实验报告的写作参考。1. 拟合优度最高的模型为什么预测得最不准六个模型对 2014 年总人口的预测值排在一起看一元线性回归 142165.8 万多元全模型 138182.2 万逐步回归 138506.2 万主成分回归 142180.5 万三次曲线 136174.9 万真实值 136782 万。绝对误差从 172 万到 5398 万跨了 31 倍。按 R² 排序三次曲线 0.999 第一多元全模型 0.944 第二一元回归 0.826 垫底按预测误差排序逐步回归第一三次曲线第三一元回归和主成分回归垫底。两张榜单几乎不重叠。这个错位不是数据脏是解释和预测在统计建模里本来就是两个目标。R² 度量模型在已有样本上的压缩能力预测误差度量模型把结构搬到样本外的能力。1980 到 2014 这 35 个观测正好把六条建模路径的取舍压成了一张对照表值得从机制层面一层层拆开。2. 一元线性回归0.909 的相关系数是怎么被时间趋势喂出来的2.1 指标选择和基准线思维影响人口的因素一大堆经济水平、粮食供给、出生率、死亡率。实验里挑了四个能拿到连续年度数据的指标——粮食产量万吨、GDP亿元、出生率、死亡率先让粮食产量和总人口单独跑一遍一元回归。先做一元不是因为它准是因为它便宜。一元回归给出一条基准线后面每加一个变量、每换一种函数形式都要回答比基准线好多少。没有这条线R²0.944 到底算优秀还是算凑合就没有参照系。模型选择这件事本质上是一连串的相对比较不是一个绝对阈值。选粮食产量的理由写在散点图上两个变量同向抬升样本点大致落在一条直线附近。这个理由本身埋着雷。两个都随时间单调上升的序列散点图必然近似直线跟因果没有半点关系。粮食产量高的年份人口也多不是因为粮食多养了人是因为两个变量共享同一个年份驱动。2.2 最小二乘的闭式解与系数的真实含义一元线性回归的理论模型是 ŷ β₀ β₁x ε最小二乘的解可以写成闭式β₁ Σ(xᵢ - x̄)(yᵢ - ȳ) / Σ(xᵢ - x̄)²β₀ ȳ - β₁x̄这个式子的几何含义是把 y 向量投影到由 1 和 x 张成的二维子空间上残差向量与这个子空间正交。换成矩阵写法 β (XᵀX)⁻¹Xᵀy正交这件事就藏在 Xᵀ(y - Xβ) 0 里。一元情形手算就行多元情形才必须上矩阵因为要对角化一个 p×p 的协方差结构。import numpy as np import pandas as pd # 列year, grain(万吨), gdp(亿元), birth, death, total(万人) df pd.read_csv(population_1980_2014.csv).sort_values(year) X np.column_stack([np.ones(len(df)), df[grain].values]) # 设计矩阵首列全 1 对应截距 y df[total].values beta np.linalg.solve(X.T X, X.T y) # 正规方程闭式解比 lstsq 更直观 y_hat X beta resid y - y_hat n, p X.shape # n 35, p 2 sigma2 resid resid / (n - p) # 残差方差自由度 n - p se np.sqrt(np.diag(sigma2 * np.linalg.inv(X.T X))) # 系数标准误 r2 1 - resid resid / ((y - y.mean()) (y - y.mean())) print(beta, se, np.sqrt(sigma2), r2) # beta ≈ [53054.404, 1.468] se ≈ [5500.013, 0.117] # 残差标准误 ≈ 4985.997 r2 ≈ 0.826np.linalg.solve而不是inv是因为前者做 LU 分解后回代数值稳定性更好X.T X在变量高度相关时会接近奇异求逆的误差会被放大这一点在第 4 章会变成主角。sigma2的分母是 n-p 而不是 n因为拟合已经消耗掉 p 个自由度残差平方和的期望要按自由度折算。se的对角线开方就是系数表里的标准错误那个被译成标准偏斜度错误的列说的就是它。代回数据得到 ŷ 53054.404 1.468x。系数 1.468 的字面解释是粮食产量每增加 1 万吨总人口增加约 1.468 万人。这个数字在因果上说不通——1 万吨粮食撑不起 1.5 万人的一年口粮。但在统计上它成立因为两个变量都在涨1.468 只是两条趋势线斜率的比值。这类系数在计量经济学里有个不太客气的名字伪回归系数。判断方法很朴素把时间变量 t 加进模型看粮食产量的系数会不会崩掉或者对残差做序列相关检验残差里如果还残留趋势说明模型没把时间结构吸收干净。2.3 回归诊断四个数字各管一摊统计软件输出了一张模型摘要和一张系数表关键数字就四个指标数值它到底在管什么R0.909两个变量的线性相关强度开方前的原始尺度R²0.826样本内被解释的方差比例加变量只会升不会降调整 R²0.821按变量个数惩罚后的解释比例用于模型间比较标准误4985.997残差的尺度预测误差的量级下界R0.909 说明线性关系不弱但 R²0.826 同时说明还有 17.4% 的方差没被解释。这两句话经常被混着说含义完全不同前者是相关强度后者是解释比例。真正值得盯的是标准误 4985.997。它和后面 2014 年的预测误差 5383.8 处于同一量级这不是巧合。残差标准误是平均而言单点预测会偏多少的估计任何超出这个量级很多的预测误差要么说明模型在端点外推要么说明数据本身有结构突变。系数表里两个 t 检验都显著常数项 t9.646粮食产量 t12.513sig 都是 0.000。显著只说明这个系数不太可能是 0不说明这个模型有用。35 个样本、两个参数t 值大是常态。回归诊断最容易翻车的地方就是把显著性当成拟合质量把 R² 当成预测精度两个都不对。3. 多元线性回归四个变量上桌后系数为什么开始互相打架3.1 中心化与标准化量纲差五个数量级时会发生什么四个自变量的量纲完全不在一个世界粮食产量 6 万量级GDP 到 63 万量级亿元出生率 12 上下死亡率 7 上下。最大和最小差着五个数量级。正规方程 XᵀX 的条件数会被这个差异直接放大。条件数是最大特征值和最小特征值的比值量纲差 10⁵条件数就可能到 10¹⁰双精度浮点只有 16 位有效数字求逆时误差能吃掉一半精度。标准化的作用就是把每个变量压到均值 0、标准差 1让 XᵀX 退化成相关矩阵条件数只由变量间的相关性决定跟量纲无关。中心化和标准化是两个动作。中心化只减均值改变截距的含义标准化再除标准差连斜率也一起改。标准化后得到的系数叫标准化系数系数表里的 Beta 列解释是自变量每变动一个标准差因变量变动多少个标准差它跟非标准化系数之间差一个 σy/σx 的换算。这里有个高频误用拿标准化系数直接写预测方程。标准化系数作用在 z 分数上代原始数值进去算出来的结果没有任何意义。统计软件同时给出 B 列和 Beta 列就是让人各取所需写方程只能用 B 列。3.2 多元 OLS 的矩阵形式和系数的可信度四个变量一起进模型矩阵形式和一元完全一样只是 X 多了三列import numpy as np from scipy import stats def ols_full(X, y): Xd np.column_stack([np.ones(len(X)), X]) # 补截距列p 自变量数 1 beta np.linalg.solve(Xd.T Xd, Xd.T y) resid y - Xd beta n, p Xd.shape sigma2 resid resid / (n - p) # 自由度 n - p cov sigma2 * np.linalg.inv(Xd.T Xd) # 系数协方差矩阵 se np.sqrt(np.diag(cov)) t beta / se pval 2 * stats.t.sf(np.abs(t), n - p) # 双尾 p 值 return {beta: beta, se: se, t: t, p: pval, rmse: np.sqrt(sigma2)}这里的自由度是 35 - 5 30√sigma2 算出来是 2967.568和模型摘要里的标准误一字不差。这个对应关系值得记牢软件报的标准误不是拍脑袋估的就是残差平方和除以自由度再开方。变异数分析表里 SSE264193847.616除以 30 得 8806461.587开方 2967.568链条完全闭合。拟合结果 R0.972、R²0.944、调整 R²0.936F126.295 且 sig0.000整体显著。方程是ŷ 124574.667 1.045x₁ - 0.005x₂ - 1460.798x₃ - 4060.272x₄逐个看系数就开始不对劲了。GDP 的系数 -0.005意思是 GDP 每增加 1 亿元人口减少 0.005 万人也就是 50 人。这个数字既小得离谱符号还是负的。出生率 -1460.798出生率每上升 1 个单位人口减少 1460 万量级勉强说得过去但出生率的实际波动范围只有 11.9 到 23.3一个单位的变动几乎不会发生。死亡率 -4060.272同样的问题。再看显著性粮食产量 sig0.000出生率 sig0.000GDP sig0.531死亡率 sig0.275。后两个都没通过。四个变量里有两个是摆设而这两个恰好都是量级最大和共线性最强的。这不是巧合是多重共线性在系数层面的典型症状——估计量方差被放大t 值被压小符号可能翻转。3.3 逐步回归有进有出的贪心搜索逐步回归的思路很直白变量一个一个进每进一个就回头把已进的逐个复查不显著的踢出去。整个过程是贪心的每一步只看当前最优不保证全局最优但在变量数不多的时候够用。这份实验跑出三步第一步只进出生率常数 165146.388系数 -2687.949t-12.794 第二步进粮食产量出生率系数变成 -1534.270粮食产量 0.816 第三步进死亡率方程定格在 ŷ 134678.878 1.012x₁ - 1366.202x₃ - 5681.557x₄。有意思的地方在死亡率它在全模型里 sig0.275本文还有配套的精品资源点击获取