简介《Folland实分析》英文习题解答PDF面向高校数学专业学生、研究生及自学者针对教材习题缺少统一答案、证明过程难以自查的问题提供按章节编排的参考解答。解答以英文书写可与原书章节逐条对应对定义、定理证明中容易忽略的细节给出较完整的推理步骤。压缩包内为1个PDF文件约549KB体量轻便适合在电脑或平板上随课程查阅。内容覆盖测度、积分、符号测度与微分、点集拓扑、泛函分析基础、Lp空间、Radon测度、傅里叶分析与分布论等章节包含测度定义验证、不可数族上确界反例、单调函数Borel可测性、Cantor函数相关构造等典型习题的证明或证明思路可帮助读者对照定义与定理梳理解题链条、检查推导细节。已有2256人学习适合作为实分析课程同步练习、习题课补充和考前复盘的辅助材料。1. 先把地图摊开实分析这门课到底在考什么实分析这门课难难在它不像微积分那样有一条从求导到积分的直线。Folland 那本教材的目录本身就是一张地图测度、积分、符号测度与微分、点集拓扑、泛函分析初步、Lp 空间、Radon 测度、Fourier 分析、分布论九章层层加码。这份英文原版的习题答案按章节编号排从第 1 章一直覆盖到第 9 章每题给出证明或证明思路能对上「卡住时缺的那一步」。它适合两类人跟课途中想核对思路有没有漏步的二刷三刷时想拿反例清单回头查漏的。答案不能替代教材更像第二意见——先自己写一版再来看它怎么处理技术细节。2. 测度与可测性σ-代数是所有证明的起点第一章最容易让人轻视因为它看起来只是「验证几条公理」。真正上手才发现后面每一道题的条件都是在 σ-代数的封闭性上做文章可数并、可数交、补集只有这三样能用一旦写成不可数运算就要另想办法。这一章的几个题恰好把「构造一个测度」「构造一个不可测函数」「证明一个函数可测」三类基本动作都练了一遍。2.1 造测度的标准动作1.10 里的交集与并集题目给定测度空间 (X, M, μ) 和 E ∈ M要求验证由 μ_E(A) μ(A ∩ E) 定义的 μ_E 仍是测度。验证只有两步空集处 μ_E(∅) μ(∅ ∩ E) 0可列可加性处把 ∪A_i 与 E 的交拆成 ∪(A_i ∩ E)这些集合两两不交直接调用 μ 的可列可加性即可。% 测度在 E 上的限制注意是交集写成并集会立刻证不下去 \mu_E(A) : \mu(A \cap E), \qquad A \in \mathcal{M} % 可列可加性的验证关键是 A_i \cap E 两两不交 \mu_E\Bigl(\bigcup_{i1}^{\infty} A_i\Bigr) \mu\Bigl(\bigcup_{i1}^{\infty} (A_i \cap E)\Bigr) \sum_{i1}^{\infty} \mu(A_i \cap E) \sum_{i1}^{\infty} \mu_E(A_i)把这段写进笔记时最好在旁边补一句为什么不能是 ∪。反例很小取 X {1, 2}μ 为计数测度E {1}A_1 {1}A_2 {2}。若定义成 μ(A ∪ E)则 μ(A_1 ∪ E) μ(A_2 ∪ E) 1 2 3而 μ((A_1 ∪ A_2) ∪ E) 2可列可加性直接崩掉。答案文本里出现过这种并集写法多半是排版时的笔误抄的时候一定要自己验一遍可列可加性这一条验不过就是定义抄错了。2.2 可数上确界保可测不可数就不保2.6 的反例怎么造2.6 要求证明不可数个取值为 R̄ 的可测函数其上确界可能不可测除非 σ-代数特别特殊。反例的构造思路很值得记住因为它把「函数不可测」翻译成了「集合不可测」。取 X R、M 为 Lebesgue 可测集族先取一个不可测集 A ⊂ R对每个 x ∈ R 定义 f_x χ_{x}即只在点 x 处取 1 的特征函数再取 f sup_{x∈A} f_x。这个上确界在每一点的值就是「该点是否属于 A」所以 f 恰好等于 χ_A不可测。判据落在原像上取 Borel 集 [1, ∞)f^{-1}([1, ∞)) A 不可测可测性定义被违反。与之对照可数个可测函数的上确界一定可测因为 {sup_n f_n a} ∪_n {f_n a}右边是可数并σ-代数对此封闭。区别就在「可数」两个字上这也是实分析里反复出现的分水岭。2.3 单调函数为什么自动 Borel 可测2.8 的一句话证明2.8 说 f: R → R 单调则 f 是 Borel 可测的。证明不需要任何测度论工具只验证生成元对任意 a ∈ Rf^{-1}([a, ∞)) 是一个区间。以单调不减为例若 x、y 落在该原像里任取 z ∈ [x, y]由单调性有 f(x) ≤ f(z) ≤ f(y)于是 f(z) ≥ az 也在原像里说明原像是区间。区间当然是 Borel 集而 [a, ∞) 这类射线生成 Borel σ-代数所以 f 可测。这类题的复习价值在于「只验生成元」这个习惯。可测性定义要求对每个 Borel 集验证原像实际写证明时几乎从不这么做而是找一族生成元、验证原像落在家族里再用 σ-代数运算封闭性推过去。后面的 2.11、2.43 都是同一个套路的不同变体。2.4 点集拓扑Borel σ-代数脚下那块地基第 4 章的点集拓扑看起来和测度离得远其实是把 Borel σ-代数讲清楚的前置。开集、闭集、紧性、连通性、连续映射这一套语言决定了能生成 σ-代数的集合族长什么样连续映射的原像把开集拉回开集这一条直接给出「连续 ⟹ Borel 可测」。Urysohn 引理和 Tietze 扩张定理在后面第 5 章、第 7 章反复被调用尤其是构造 Riesz 表示定理里的积分泛函时。梳理下来会发现拓扑这一章真正的难点不在定义多而在「反向不成立」的那些例子可测函数不必连续Borel 可测不必是连续函数的极限点态极限只是 Borel 函数的一部分。复习时把「连续 ⟹ Borel 可测 ⟹ Lebesgue 可测」这条链记住再记住两个箭头都不可逆比背一堆定义有用。2.5 Cantor 函数那题埋了三个雷2.9 拆开看2.9 是第一章通向后面所有内容的一道综合题。设 f 是 [0,1] 上的 Cantor 函数g(x) f(x) x题目分四问。(a) g 是 [0,1] 到 [0,2] 的双射且 h g^{-1} 连续。g 严格增因为 f 单调不减而 x 严格增连续端点值为 0 和 2由介值定理满射单调连续映射把开区间映成开区间所以 g 是开映射逆映射连续。(b) m(g(C)) 1。关键观察是 f 在 [0,1] \ C 的每个构成区间上是常数于是 g 把区间 (a, b) 映成 (f(a)a, f(a)b)长度保持为 b−a。可列可加给出 m(g([0,1]\C)) m([0,1]\C) 1再拿总长度 2 减掉得 m(g(C)) 1。这就是「零测集被同胚映成测度为 1 的集」的经典画面说明测度不是拓扑不变量。(c) 由第 1 章某题g(C) 含 Lebesgue 不可测子集 A。令 B g^{-1}(A)则 B ⊂ C测度为 0由 Lebesgue 测度的完备性 B 可测若 B 是 Borel 集则 A g(B) 作为连续映射下的像也应是 Borel 集矛盾所以 B 是可测非 Borel 集。(d) 取 F χ_B、G hF 可测、G 连续但 F∘G 不可测。这一问是最容易被跳过的因为它看起来只是 (c) 的推论实际它给出了「可测复合可测」这条直觉的第一个反例。3. 积分与收敛三大定理之外的四张网第二章的题量最大题目类型却能归成几类验证某类函数可积、判断某种收敛能不能推出积分收敛、构造反例证明条件不可省、以及把不同的收敛方式互相翻译。单调收敛定理、Fatou 引理、控制收敛定理是三条主干真正拉开差距的是它们各自的条件到底卡在哪里。下面几道题基本把这几类都过了一遍。3.1 一致收敛够不够用2.19 在测 μ(X) 的脸色2.19 分两问。(a) 若 {f_n} ⊂ L1 且 f_n → f 一致收敛μ(X) ∞则 f ∈ L1 且 ∫f_n → ∫f。证明走的是控制收敛一致收敛给出某个 N使 n ≥ N 时 |f_n − f| ε 处处成立于是 |f| |f_N| ε两边积分得 ∫|f| ≤ ∫|f_N| εμ(X) ∞f 可积。控制函数取 g max{|f_1|, ..., |f_N|, |f| ε}它是可积的因为前 N 项可积、|f| ε 也可积有限个可积函数取最大值仍可积。(b) μ(X) ∞ 时结论会崩。反例是 f_n (1/n)χ_{[-n,n]}它一致收敛到 0因为 sup|f_n| 1/n → 0但 ∫f_n 2 对每个 n 都成立积分完全不动。这里最值得记的不是结论而是「钱花在哪」一致收敛管住了每一点的误差却管不住积分域越来越大。μ(X) ∞ 的作用就是把「乘上 ε 之后的总量」压住。做题时看到一致收敛先问一句测度是否有限这一问能省掉大量返工。3.2 距离 ρ(f, g) 与依测度收敛2.32 的构造值不值得背2.32 在 μ(X) ∞ 的前提下定义 ρ(f, g) ∫ |f−g| / (1 |f−g|) dμ要求证明它在「几乎处处相等视为同一函数」的等价关系下是度量并且 ρ 收敛等价于依测度收敛。度量性里唯一有点技术含量的是三角不等式。关键是不等式 φ(ab) ≤ φ(a) φ(b)其中 φ(t) t/(1t)展开后等价于交叉项非负这一步自己动笔算一遍比看答案快。有了它|f−g| ≤ |f−h| |h−g| 一代入就完事。等价性的两个方向正向更好用。给定 ε 0取 δ ε·μ(X)令 E_n {|f_n − f| ≥ δ}则 ρ(f_n, f) ≤ φ(δ)·μ(E_n^c) μ(E_n) ≤ δ μ(E_n)。由依测度收敛μ(E_n) → 0于是 ρ(f_n, f) → 0。反向走反证若存在 δ、ε 使无穷多个 n 满足 μ{|f_n − f| ≥ ε} ≥ δ则在这些 n 上 ρ(f_n, f) ≥ εδ/(1ε)与 ρ 收敛矛盾。答案文本里 E_n 的阈值写法有点绕建议按上面的 δ 重新推一遍顺手就能把它变成自己能默写的版本。3.3 子列法2.34 用控制收敛把依测度换成 L12.34 是本章最值得背下来的一道题若 |f_n| ≤ g ∈ L1 且 f_n → f 依测度则 f_n → f 在 L1 中同时 ∫f_n → ∫f。思路是先取子列再反证。第一步依测度收敛可以取到几乎处处收敛的子列这是 Riesz 定理的标准结论。对这个子列控制条件 |f_n| ≤ g 还在直接上控制收敛定理得 L1 收敛。第二步反证整列不收敛若存在 ε 0 和无穷多个 n_k 使 ∫|f_{n_k} − f| ≥ ε把这串指标排成子列它仍依测度收敛于是又能取到几乎处处收敛的进一步子列再用控制收敛控制函数是 2g得到 L1 收敛矛盾。同一节相邻的 2.21 值得一起记若 f_n, f ∈ L1 且 f_n → f 几乎处处则 ∫|f_n − f| → 0 与 ∫|f_n| → ∫|f| 互为等价。正向是三角不等式 |∫|f_n| − ∫|f|| ≤ ∫|f_n − f|反向用 Fatou 引理作用在 2|f| − |f_n − f| 上三行完事。这两题合起来就是一张「L1 收敛的判定工具箱」要么找可积控制函数要么直接比对积分绝对值。3.4 乘法为什么在 μ(X) ∞ 时翻车2.38 的反例2.38 验证依测度收敛对加法封闭对乘法则要 μ(X) ∞ 才行。加法是纯粹的集合不等式{|f_n g_n − f − g| ≥ ε} 包含于 {|f_n − f| ≥ ε/2} ∪ {|g_n − g| ≥ ε/2}测度的次可加性一压就过去。乘法要靠平方展开。先证一个引理μ(X) ∞ 且 f_n → f 依测度时f_n² → f² 依测度。证明用的是子列法加 Egoroff 定理把几乎处处收敛的函数列平方后仍依测度收敛。然后把 (f_n g_n)²、f_n²、g_n² 的收敛性与加法部分拼起来得到 f_n g_n → fg。反例是 f(x) g(x) xf_n(x) g_n(x) x (1/n)χ_{[n, n1)}测度取 Lebesgue 测度。f_n → f 依测度没问题因为差异只在 [n, n1) 上且幅度 1/n 随 n 变小。但 f_n g_n − fg (2x/n)χ_{[n,n1)} (1/n²)χ_{[n,n1)}在 [n, n1) 上 x ≥ n所以 2x/n ≥ 2于是 {|f_n g_n − fg| ≥ 1} 包含 [n, n1)测度恒为 1不收敛到 0。这个反例的构造逻辑很好用乘法的误差是「两个函数误差的交叉项」交叉项里带着函数本身的增长所以只要函数列在远处还在长大乘积的偏差就压不下去。记反例时把「2x/n ≥ 2」这一句记牢就够了。3.5 Egoroff 定理的两种改写2.40 与 2.41Egoroff 定理的标准版本要求 μ(X) ∞2.40 说这条可以换成「存在 g ∈ L1 使 |f_n| ≤ g 对所有 n 成立」。改写的核心在于标准证明里只有一处用到了 μ(X) ∞保证集合 E_1(k) ∩_m ∪_{n≥m} {|f_n − f| ≥ 1/k} 的测度有限。若有可积控制则由 |f_n − f| ≤ 2g 得 E_1(k) ⊂ {g ≥ 1/(2k)}后者的测度不超过 2k∫g ∞条件补上了。2.41 走另一个方向μ 是 σ-有限时几乎处处收敛可以升级成「一列可测集上的一致收敛」。先对有限测度块用 Egoroff每次抠掉测度小于 2^{-k} 的坏集再取交得到递增的集合列 F_n由测度从上有连续性得 μ((∩F_n)^c) 0σ-有限情形把各测度块上的结果并起来即可。这一步的实质是把「一个坏集」换成「可数个坏集」代价是丢掉的仍是零测集。2.43 是同一思想的连续参数版本f: X × [0,1] → C关于第二个变量连续、关于第一个变量可测。要证 {x : 对一切 y δ 有 |f(x,y) − f(x,0)| ≤ ε} 可测诀窍是把「对一切实数 y」换成「对一切有理数 y」——用 Q ∩ [0, δ) 的可数枚举取交再由连续性把有理数的结论推回全体实数。这类「可数化」的技巧在实分析里出现频率极高认出来就能省下大量时间。4. 后半本书L1 的怪函数、Lp、Radon 与 Fourier 的四级台阶从第三章开始教材的重心从「单个函数的可积性」转向「函数空间的结构」。符号测度把测度推广到可取负值的情形Lp 空间把可积性做成范数Radon 测度把测度和拓扑接上Fourier 分析和分布论则把前面所有工具一次性用出来。这一段的答案往往比前面短但每一步都依赖前面的结论前面漏一环后面就整段看不懂。4.1 L1 里的怪函数2.25 为什么把 g 和 g² 分开讨论2.25 是第二章最能体现「构造」二字的题。取 f(x) x^{-1/2}0 x 1 上在别处取 0把有理数排成一列 {r_n}令 g(x) Σ 2^{-n} f(x − r_n)。(a) g ∈ L1。逐项积分∫|2^{-n} f(x − r_n)| dx 2^{-n} ∫_0^1 x^{-1/2} dx 2^{-n} · 2 2^{-(n-1)}求和得 2 ∞由单调收敛定理逐项可积g ∈ L1从而 g ∞ 几乎处处。(b) g 在每个点不连续、在每个区间上无界而且在零测集上随便改一改这些性质都还在。原因是有理数在每个小区间里稠密而 f 在原点附近以 x^{-1/2} 的速率发散每个 r_n 都是一个「尖峰」的位置尖峰任意近处都还有更大的值。(c) g² 几乎处处有限但它在任何区间上都不可积只要区间含某个 r_n取单项 2^{-2n} f²(x − r_n)积分变成 2^{-2n}∫ x^{-1} dx对数发散。这一题的价值在于把「可积」「几乎处处有限」「局部可积」三件事彻底分开。很多人第一次看完会觉得反直觉一个 L1 函数的高次幂竟然处处不可积。血泪经验是遇到这种题别急着算整体先找一项让它单独发散比合并估计快得多。4.2 符号测度与微分Hahn 分解通往 Radon-Nikodym第三章的主线是三件事符号测度、绝对连续、导数。Hahn 分解把一个符号测度拆成正负两部分Jordan 分解把它写成两个正测度之差Radon-Nikodym 定理在 ν ≪ μ 且 μ 为 σ-有限时给出密度函数 dν f dμLebesgue 分解把任意 σ-有限测度拆成绝对连续部分加奇异部分。答案里的习题大多绕着「什么时候 μ 为 σ-有限这个条件不能省」转。复习这段时把三个分解的层级关系画清楚比背定理表述有用Hahn 分解是集合层面的拆分Jordan 分解是测度层面的拆分Lebesgue 分解是相空间层面的拆分Radon-Nikodym 是把「绝对连续」翻译成「存在密度」。做题时看到 ν ≪ μ第一反应应该是去找那个 f看到两个测度互相奇异第一反应应该是去找一个可测集把空间切开。4.3 Lp 空间Holder、Minkowski 与对偶第六章的核心结论是 (Lp)* ≅ Lq1 p ∞1/p 1/q 1以及 L1 的对偶是 L∞ 但 L∞ 的对偶严格大于 L1。Hölder 不等式和 Minkowski 不等式是全部证明的发动机几乎每道题都要用一次。重点难点集中在三处。一是一致凸性Lp1 p ∞一致凸这是 Riesz 表示定理在 Lp 上能用的关键证明依赖 Clarkson 不等式计算量大但结构清楚。二是 Lp 中的收敛范数收敛比依测度收敛强但弱收敛要弱得多弱紧性来自 Alaoglu 定理中间隔着一层对偶论证。三是 L2 是 Hilbert 空间这个特例内积给了正交投影很多在一般 Lp 里做不到的事情在 L2 里一行就完事。如果只挑一道题来检验自己有没有真懂就挑一道要求证明 (Lp)* ⊂ Lq 的题看能不能自己把测度分解、简单函数逼近、Radon-Nikodym 三步串起来。4.4 Radon 测度正则性与 Riesz 表示定理第七章把测度放回拓扑空间要求测度对开集、紧集有正则性外正则用开集逼近内正则用紧集逼近。核心结论是 Riesz 表示定理紧空间上 C(X) 上的正线性泛函对应一个 Radon 测度。更常见的版本在局部紧 Hausdorff 空间上、对 C_c(X) 陈述。这一定理的证明是前面所有工具的汇演用 Urysohn 引理造出被开集「卡住」的连续函数用 Tietze 扩张把函数从闭集推到全空间再用正线性泛函的单调性把测度的外正则性逼出来。答案里这类题通常写得很简洁自己补的时候要盯住两个细节紧集上的连续性从哪来以及为什么构造出的集合函数满足可列可加性。4.5 Fourier 与分布从 L1 变换到缓增分布第八章处理 L1 上的 Fourier 变换Riemann-Lebesgue 引理给出变换后函数在无穷远处趋于零Fourier 反演定理需要额外条件比如 f 和 f̂ 都可积Plancherel 定理把 L1 ∩ L2 上的变换延拓成 L2 上的酉算子。第九章把这些放进分布框架测试函数取 C_c^∞缓增分布是 Schwartz 空间上的连续线性泛函求导变成对测试函数求导再取负号Fourier 变换在 S 上仍然是同构。答案里这部分题目较少但每道都要求前面几章的基础扎实尤其是分部积分和卷积的估计。复习顺序上第八章的题目建议在 Lp 的题做完之后再碰因为 Plancherel 的证明要用 Lp 插值第九章则放在最后它更像一份综合测验。5. 易漏点与易错点五个反复踩坑的地方把前面几章的题过两遍之后出错的类型会明显收敛大概就固定在这五种。它们都不是「不会做」而是「觉得会了写出来差一点」考场上差这一点就是零分。5.1 交集写成并集测度立刻不成立易漏点1.10 定义 μ_E(A) μ(A ∩ E) 时把 ∩ 写成 ∪。为什么漏教材排版里 ∩ 和 ∪ 长得像答案文本中也有混用抄写时容易顺手。更根本的原因是没意识到这条公理必须验证。怎么补每次写完定义立刻拿最简单的两点空间试可列可加性验不过就是定义错了另外记住 μ_E 的语义是「把测度限制在 E 上」限制的关键词是「交」。5.2 不可数运算σ-代数只对可数封闭易漏点遇到 sup 或 ∪ 的时候不检查指标集是不是可数。为什么漏2.6 的反例已经明确告诉你不可数上确界会失效但写证明时仍然容易把「可数个」当口头禅带过去。怎么补养成一个动作每次写下 ∪ 或 sup先看指标集是不可数就停下来想办法用有理数稠密性换成可数并2.7 和 2.43 都是靠这一步救回来的。5.3 一致收敛不等于 L1 收敛易漏点看到 f_n → f 一致收敛就直接写 ∫f_n → ∫f。为什么漏一致收敛的直觉太强容易忘记积分是对整个空间求和。怎么补把 2.19 的反例 f_n (1/n)χ_{[-n,n]} 记成卡片每次想跳过测度有限性检查时就翻出来看一遍写证明时明确写出控制函数并检查它的积分是否有限。5.4 依测度收敛推不出几乎处处收敛易漏点从一个依测度收敛的函数列直接取几乎处处收敛。为什么漏两者名字里都有「收敛」实际强弱不同只有在取子列之后才能拿到几乎处处收敛。怎么补把「依测度收敛 ⟹ 存在子列几乎处处收敛」当成一条固定的引理写进笔记本2.34 的整个证明就建立在这一步上反方向「几乎处处收敛推不出依测度收敛」也要记一个反例避免混用。5.5 连续复合保 Borel 可测但不保 Lebesgue 可测易漏点认为「可测函数复合连续函数仍然可测」对所有可测性都成立。为什么漏Borel 情形下这句话是对的因为连续映射把 Borel 集拉回 Borel 集但 Lebesgue 可测集在连续映射下的像不一定可测。怎么补2.9 的 (c)(d) 就是现成的反例把 B g^{-1}(A) 可测非 Borel、F∘G 不可测这两句连着背下来同时记住 Lebesgue 测度是完备的而 Borel 测度不是多出来的那部分正是零测集的子集。6. 复习清单把「看懂」变成「写得出」看懂答案和写得出证明之间隔着一条河跨过去的办法只有一个合上答案从空白纸开始写。下面这张表可以当作每周的自查工具每一行都要能给出「通过 / 不通过」的判断而不是模糊的「差不多会了」。复习目标自查动作通过标准测度构造默写 μ_E 的定义并验证可列可加性定义写对且能举出并集版本的反例可测性判定对给定函数找一族生成元验证原像能说清为什么只验生成元就够不可数陷阱复述 2.6、2.7 的构造能独立写出 χ_A 不可测的那三行三大收敛定理各举一个条件不可省的反例反例具体到函数表达式Egoroff 变形写出 2.40、2.41 的条件替换能指出标准证明里哪一步用到了有限测度Lp 对偶复述 (Lp)* ≅ Lq 的三步三步的衔接处能自己补细节反例卡片随机抽三张遮住答案重写三张里至少两张一次写对配套的流程是三遍法。第一遍只读题面不看他人的解答用一句话写出「这题想让我构造什么」第二遍对照答案只补技术细节不重抄整段第三遍隔一周把关键反例默写一遍。第三遍最容易翻车因为记忆会把「一致收敛」和「L1 收敛」这类近义概念悄悄合并写出来似是而非。反例卡片建议用固定模板一张一个攒到二十张左右就够覆盖整本书的高频陷阱% 反例卡片模板一张卡只放一个反例正面写命题背面写构造 % 命题一致收敛 \mu(X)\infty \not\Longrightarrow \int f_n \to \int f % 构造 f_n \frac{1}{n}\chi_{[-n,\,n]}, \qquad f \equiv 0 % 关键计算 \sup_{x\in\mathbb{R}} |f_n(x)-f(x)| \frac{1}{n} \to 0, \qquad \int f_n \, dm 2 \ \text{对所有 } n % 一句话总结一致收敛控制的是逐点误差控制不了积分区域在膨胀从那以后我每次复习到收敛定理都强制走一遍「条件—反例—证明三步」的固定顺序先问条件少一条会怎样再回头读证明最后才动笔写。这个习惯救过我很多次尤其是考前只剩两天、什么都想再看一遍的时候它能把注意力从「读了多少页」拉回到「哪条条件我还会记错」。希望帮到你。本文还有配套的精品资源点击获取