第二章一阶逻辑主要内容个体词、谓词、量词的定义和含义一阶逻辑命题符号化要求对于一般命题能够利用谓词和量词进行符号化苏格拉底三段论凡是人都是要死的苏格拉底是人所以苏格拉底是要死的p∧q→r重言式正确的推理个体词个体词individual是研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体。具体的、特定的个体词称为个体常项一般用 a, b, c 表示抽象的、不确定的个体词称为个体变项一般用 x, y, z 表示个体变项的取值范围称作个体域或论域domain of the discourse个体域(大重点后期着重分清是哪个个体域)x的个体域 D {1, 2, 3, …}x的个体域为实数集合 R全总个体域宇宙间的一切事物当不特指个体域时都按全总个体域使用√2 是无理数 —— √2 是个体常项x 是有理数 —— x 是个体变项小王与小李同岁 —— 小王和小李是个体常项x 和 y 具有关系 L —— x 和 y 是个体变项谓词predicate表示个体词性质或相互之间关系的词称作谓词常用 F, G, H 表示。谓词常项表示具体性质或者关系的谓词谓词变项表示抽象或者泛指的性质或者关系的谓词0 元谓词不含个体变项的谓词例2 是素数其中 “…是素数” 是谓词记为 F则陈述句可表示为 F (2)如果在命题里的个体变项多于一个那么表示这几个个体词间的关系的词也称作谓词。这是多元谓词含 nn≥1个个体的谓词 P (x₁, x₂, …, xₙ) 称n 元谓词一般用 F (x, y), G (a, b), M (x, y, z) 等表示。x 与 y 相等其中 “…与 …相等” 是谓词记作 G则陈述句可表示为 G (x, y)——————————————————————————————————————————————例“√2 是无理数”“。。。是素数” 记作 F则命题符号化为F (√2)“x 是有理数” “。。。是有理数”记作 G则命题符号化为G (x)“小王与小李同岁”其中 a 表示小王b 表示小李“。。。与。。。同岁” 记作 H则命题符号化为H (a, b)“x 和 y 具有关系 L”命题符号化为L (x, y)——————————————————————————————————————————————准确地讲谓词 P (x), Q (x, y)是命题形式而不是命题。因为既没有指定谓词符号 P, Q 的含义而且个体词 x, y 也是个体变项而不代表某个具体的事物从而无法确定 P (x), Q (x, y) 的真值。仅当赋予谓词确定含义并且个体词取定为个体常项时命题形式才化为命题。————————————————————————————————————————————————例如果 5 大于 4则 4 大于 6设二元谓词 F (x, y)x y命题可符号化为F (5, 4) → F (4, 6)命题为假命题——————————————————————例设个体域为自然数集 NF (x)x 是偶数G (x)x 是素数用 0 元谓词将下列命题符号化并讨论它们的真假。(1) 2 是偶数(2) 若 2 是素数则 4 不是素数(3) 只有 2 是素数6 才能是素数(4) 除非 6 是素数否则 4 是素数解答设个体域为自然数集 NF (x)x 是偶数G (x)x 是素数用 0 元谓词将下列命题符号化并讨论它们的真假。(1) 2 是偶数。F (2) ∧ G (2) —— 真命题(2) 若 2 是素数则 4 不是素数。G (2) → ¬G (4) —— 真命题(3) 只有 2 是素数6 才能是素数。G (6) → G (2) —— 真命题(4) 除非 6 是素数否则 4 是素数。¬G (6) → G (4) —— 假命题——————————————————————————————————————————————————量词quantification用来表示个体数量的词是量词。给谓词加上量词称作谓词的量化。量词可看作是对个体词所加的限制、约束的词但不是对数量一个、两个、三个…的具体描述而是讨论两个最通用的数量限制词全称量词和存在量词。全称量词universal quantification∀读作 “所有的 x”、“任意 x” 或 “一切 x”含义相当于自然语言中的 “任意的”、“所有的”、“一切的”、每一个““凡”等(∀x )P (x) 意指对论域D中的所有个体都具有性质 P命题∀x P (x)当且仅当对论域中的所有 x 来说P (x) 均为真时方为真。记住哦是均为真方为真—————————————————例假设个体x的论域是全总个体域“一切事物都是运动的” 可以形式描述为(∀x)(x是运动的)若以 P (x) 表示 “x 是运动的”则可写作 (∀x)(P (x))或简写成∀x P (x)或 ∀x Px—————————————————————————————存在量词existential quantification∃读作 “存在 x”含义相当于自然语言中的 “某个”、“存在”、“有的”、“至少有一个”、“有些” 等∃x P (x) 意指对论域 D 中至少有一个个体具有性质 P—————————————————例:假设个体x域论域是全总个体域“有的事物是水果” 可以形式描述为∃x (x是水果 )若以 G (x) 表示 “x 是水果”则可写作 ∃x G (x)或简写成 ∃x G (x)或 ∃x Gx————————————————————————————————————————————————————————例设个体域为 D {0, 1, 2, …, 10}将下列命题符号化(1) D 中所有元素都是偶数(2) D 中所有偶数都能被 2 整除解答(1) ∀x F (x)其中 F (x)x 是偶数(2) ∀x (G (x) → H (x))其中 G (x)x 为偶数H (x)x 能被 2 整除————————————————————————————————————————————————————————例设个体域为 D {x | x 为人}将下列命题符号化(1) 人都生活在地球上(2) 有的人长着黑头发(3) 中国人都用筷子吃饭(4) 有的美国人不住在美国解答设个体域为 D {x | x 为人}将下列命题符号化(1) 人都生活在地球上。∀x F (x)其中 F (x)x 生活在地球上(2) 有的人长着黑头发。∃x G (x)其中 G (x)x 长着黑头发(3) 中国人都用筷子吃饭。∀x (F (x) → G (x))其中 F (x)x 为中国人G (x)x 用筷子吃饭(4) 有的美国人不住在美国。∃x (F (x) ∧ ¬G (x))其中 F (x)x 是美国人G (x)x 住在美国————————————————————————————————————————————————————————王杰的专辑《英雄泪》中歌曲“希望”中有一句歌词“希望世间能有永恒/希望真情不会改变/世上没有伤心人/岁岁年年到永远”如果令P(x)表示“x是世间的伤心人”那么“世上没有伤心人”应该表示为 A ¬P(x)B ¬(∀x)P(x)C (∃x)¬P(x)D ¬(∃x)P(x)——————————————————————————————————设D为个体域1“D中所有x都有性质F”符号化为∀xF(x)2“D中存在x都有性质F”符号化为∃xF(x)3“对D中所有的x而言如果x有性质Fx就有性质G”符号化为∀x(F(x) → G(x)) 基本公式14“D中存在x既有性质F、又有性质G”符号化为∃x(F(x) ∧ G(x)) 基本公式234就和上面的那个中国人和美国人的题一样想。设D为个体域5“对D中所有的xy而言若x有性质F前提y有性质G则x与y就有关系H”若。。。则。。。用蕴涵符号化为∀x∀y(F(x) ∧ G(x) → H(x,y))6“对D中所有的x而言若x有性质F理解有了F才会有G这里是理解不是才的那个蕴含只是让你单纯的理解就存在y有性质G使得x与y有关系H”若。。。就。。。符号化为∀x(F(x) → ∃y(G(x) ∧ H(x,y)))7“D中存在x有性质F并且对D中所有的y而言如果y有性质G则x与y就有关系H”符号化为∃x(F(x) ∧ ∀y(G(y) → H(x,y)))例 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 正数都大于负数(2) 有的无理数大于有的有理数解 注意题目中没给个体域一律用全总个体域其他题也是这样想(1) 令F(x)x为正数G(y)y为负数 L(x,y)xy∀x∀y(F(x)∧G(y)→L(x,y))或者 ∀x(F(x)→∀y(G(y)→L(x,y)))理解如果它是一个正数对于所有负数而言都有大于关系(2) 令F(x)x是无理数G(y)y是有理数 L(x,y)xy∃x∃y(F(x)∧G(y)∧L(x,y))或者 ∃x(F(x)∧∃y(G(y)∧L(x,y)))例 在一阶逻辑中将下面命题符号化(1) 没有不呼吸的人(2) 不是所有的人都喜欢吃糖解 (1) F(x)x是人 G(x)x呼吸∀x(F(x)→G(x))¬∃x(F(x)∧¬G(x))(2) F(x)x是人 G(x)x喜欢吃糖∃x(F(x)∧¬G(x))¬∀x(F(x)→G(x))例 设个体域为实数域, 将下面命题符号化(1) 对每一个数x都存在一个数y使得xy(2) 存在一个数x使得对每一个数y都有xy解 L(x,y):xy(1) ∀x∃yL(x,y)(2) ∃x∀yL(x,y)注意: ∀与∃不能随意交换显然(1)是真命题,(2)是假命题主要内容一阶逻辑命题中使用的谓词、量词的概念和含义如何对一阶逻辑命题利用量词和谓词符号化要求能够利用谓词和量词相关知识对一阶逻辑命题进行符号化——————————————————————-跟我走速学