在交换环带单位元1≠01 \neq 010中主理想Principal Ideal是指由单个元素生成的理想。它是线性代数中“一维子空间”或算术中“某个数的全部倍数”在环论中的推广。“生成子环”的定义定义设RRR是一个环S⊆RS\subseteq RS⊆R是一个子集由SSS生成的子环是指所有包含SSS的RRR子环的交集记作⟨S⟩\langle S\rangle⟨S⟩。性质由SSS生成RRR的子环是一个子环是包含SSS的最小子环即任何包含SSS的子环都包含它。由SSS生成RRR的子环的元素形式∑i,k±si1si2⋯sik\sum_{i,k} \pm s_{i1}s_{i2}\cdots s_{ik}∑i,k​±si1​si2​⋯sik​si,k∈Ss_{i,k}\in Ssi,k​∈S例子例 1.C\mathbb{C}C中由iii生成的子环⟨i⟩{abi∣a,b∈Z}Z[i]. \langle i\rangle\{abi\mid a,b\in\mathbb{Z}\}\mathbb{Z}[i].⟨i⟩{abi∣a,b∈Z}Z[i].例 2.R\mathbb{R}R中由2\sqrt{2}2​生成的子环⟨2⟩{ab2∣a,b∈Z}Z[2], \langle\sqrt{2}\rangle\{ab\sqrt{2}\mid a,b\in\mathbb{Z}\}\mathbb{Z}[\sqrt{2}],⟨2​⟩{ab2​∣a,b∈Z}Z[2​],例 3.Z[x]\mathbb{Z}[x]Z[x]中由x2,x3x^2,x^3x2,x3生成的子环⟨x2,x3⟩{a2x2a3x3⋯anxn∣ai∈Z}, \langle x^2,x^3\rangle\{a_2x^2a_3x^3\cdotsa_nx^n\mid a_i\in\mathbb{Z}\},⟨x2,x3⟩{a2​x2a3​x3⋯an​xn∣ai​∈Z},即没有常数项、也没有一次项的多项式全体。“生成理想”的定义设RRR是一个交换环S⊆RS\subseteq RS⊆R是一个子集由SSS生成的理想是指所有包含SSS的RRR理想的交集记作(S)(S)(S)。例子Z[x]\mathbb{Z}[x]Z[x]中的(2)(2)(2)。性质由SSS生成RRR的理想是一个理想是包含SSS的最小理想即任何包含SSS的理想都包含它。由SSS生成RRR的理想的元素形式∑irisi\sum_{i} r_i s_i∑i​ri​si​si∈Ss_{i}\in Ssi​∈Sri∈Rr_i\in Rri​∈R。“主理想”定义设RRR为一个有幺元(1≠01 \neq 010)的交换环a∈Ra \in Ra∈R是RRR中的一个元素。III为RRR中所有aaa的倍数构成的集合I{r⋅a∣r∈R} I\{ r \cdot a \mid r \in R \}I{r⋅a∣r∈R}称III为由元素aaa生成的主理想记作(a)(a)(a)或aRaRaR或RaRaRaIII符合理想的定义加法封闭对任意r1a,r2a∈(a)r_1 a, r_2 a \in (a)r1​a,r2​a∈(a)有r1a−r2a(r1−r2)a∈(a)r_1 a - r_2 a (r_1 - r_2)a \in (a)r1​a−r2​a(r1​−r2​)a∈(a)。乘法吸收对任意x∈Rx \in Rx∈R及ra∈(a)r a \in (a)ra∈(a)有x⋅(ra)(xr)a∈(a)x \cdot (ra) (xr)a \in (a)x⋅(ra)(xr)a∈(a)。因此III是RRR的一个理想。例子在Z\mathbb{Z}Z中每个理想如(5)5Z(5) 5\mathbb{Z}(5)5Z都是主理想。R[x]\mathbb{R}[x]R[x]的理想(x21){f(x)⋅(x21)∣f(x)∈R[x]}(x^2 1) \{ f(x) \cdot (x^2 1) \mid f(x) \in \mathbb{R}[x] \}(x21){f(x)⋅(x21)∣f(x)∈R[x]}。反例二元多项式环Z[x,y]\mathbb{Z}[x,y]Z[x,y]的理想I(x,y){f(x,y)xg(x,y)y}I (x, y) \{ f(x,y)x g(x,y)y \}I(x,y){f(x,y)xg(x,y)y}此即常数项为 0 的多项式集合不能由单个多项式生成因此它不是主理想。