1. 先大致理解 MOEA/D 算法的思想大致浏览一下下面这段话等后面看完再回过来阅读MOEA/D 的分解思想主要来源于传统多目标数学规划中的标量化方法Scalarization Methods在传统的数学优化中直接寻找多个相互冲突的目标的帕累托前沿PF非常困难。数学家们早就有一种成熟的思路通过给每个目标分配权重将多个目标“合成”为一个单一的目标即标量目标然后去求这个单目标的最优解。改变权重就能得到不同的最优解最终拼凑出整个帕累托前沿。然而传统标量化方法有一个致命弱点它们通常是一次只运行一个权重独立求解。这不仅计算效率低下而且无法利用不同权重对应的解之间的信息共享。MOEA/D 的创举在于它把数学规划中的“标量化”与进化算法的“种群”结合起来。它不再是一个接一个地独立求解而是同时构建一组均匀分布的权重向量一次性并行求解所有这些标量子问题。这就是分解思想的直接来源。2. 什么是传统多目标数学规划中的标量化方法为什么分解分配权重就能找到最优解呢这就引出了数学上的一个加权和标量化定理Weighted Sum Scalarization Theorem前提决策变量 x 的可行域是凸集且所有目标函数都是凸函数。结论如果是一个帕累托最优解那么必定存在一组非负权重 λ(λ1,…,λm)不全为0使得是加权和函数的最小值点。简而言之在凸性假设下每一个帕累托最优解都可以通过赋予各目标适当的权重转化为某个加权和单目标问题的最优解。数学原理为什么成立为什么线性组合一定能找到最优解证明什么是凸集分离定理凸集分离定理 “两个不重叠的凸集中间一定能塞进一块平整的板子把它们隔开。”证明凸集分离定理本质上是在解决一个问题“我怎么用数学语言精确地造出那块分开它们的‘木板’”总结在凸的世界里权重就是一把可以旋转的直尺。你转动这把直尺直尺的边缘扫过的轨迹完美贴合了帕累托前沿的每一寸。在传统多目标数学规划中的标量化方法中通过加权和标量化定理和凸集分离定理证明了 通过设置不同的权重 可以刻画出 凸性问题的帕累托前沿例子权重 w 之和必须等于 1 吗3. 非凸部分怎么办凹进去的帕累托前沿又该如何求解呢如果 Pareto 前沿是非凸的向内凹陷加权和法就会失效。直线超平面无论如何调整斜率都只能碰到前沿两端的极点而永远无法切到凹陷进去的那部分解。接下来引入切比雪夫法Tchebycheff或PBIPenalty-based Boundary Intersection几何直觉为什么切比雪夫法 在几何上是一个矩形总结在基于分解的算法如 MOEA/D中我们要找的是 Pareto 最优解即目标空间左下角的那些点。算法怎么找本质上是在“推”等距离线直到它刚好“碰到”目标空间的可行域Pareto前沿。未完待续......切比雪夫法又是怎么知道理想点的呢理想点是怎么求解怎么设置的呢