毕克定理设一个简单格点多边形的面积为AAA内部格点数为III边界格点数为BBB则AIB2−1. AI\frac B2-1.AI2B​−1.下面给出证明。1. 剖分为基本三角形称一个格点三角形为基本三角形如果它的三个顶点都是格点且除三个顶点外内部和边上都没有其他格点。任意格点多边形都可以剖分成若干个基本三角形。做法是先作任意格点三角剖分若某个三角形内部或边上还有格点就把该格点与三角形顶点相连继续细分。由于每次细分后三角形面积严格变小而格点三角形面积是半整数所以这个过程必在有限步后停止。最终每个小三角形都是基本三角形。设这样的基本三角形共有TTT个。2. 基本三角形的面积为12\frac1221​设一个基本三角形的三个顶点为格点。平移后设其中一个顶点为原点另外两个顶点为(a,b),(c,d). (a,b),\qquad (c,d).(a,b),(c,d).该三角形面积为S∣ad−bc∣2. S\frac{|ad-bc|}{2}.S2∣ad−bc∣​.令n∣ad−bc∣n|ad-bc|n∣ad−bc∣。我们证明n1n1n1。若n1n1n1取素数p∣np\mid np∣n。则ad−bc≡0(modp), ad-bc\equiv 0\pmod p,ad−bc≡0(modp),所以向量(a,b)(a,b)(a,b)与(c,d)(c,d)(c,d)在模ppp下线性相关。因此存在不全为零的整数r,sr,sr,s0≤r,sp0\le r,sp0≤r,sp使得r(a,b)s(c,d)≡(0,0)(modp). r(a,b)s(c,d)\equiv (0,0)\pmod p.r(a,b)s(c,d)≡(0,0)(modp).必要时把(r,s)(r,s)(r,s)换成(p−r,p−s)(p-r,p-s)(p−r,p−s)可使rs≤p. rs\le p.rs≤p.于是D(rascp,rbsdp) D\left(\frac{rasc}{p},\frac{rbsd}{p}\right)D(prasc​,prbsd​)是一个格点。又因为Drp(a,b)sp(c,d), D\frac rp(a,b)\frac sp(c,d),Dpr​(a,b)ps​(c,d),且rp,sp≥0,rpsp≤1, \frac rp,\frac sp\ge 0,\qquad \frac rp\frac sp\le 1,pr​,ps​≥0,pr​ps​≤1,所以DDD位于该三角形内部或边上。但DDD不是原三角形的顶点这与“基本三角形除顶点外没有其他格点”矛盾。因此n1n1n1基本三角形面积为S12. S\frac12.S21​.所以整个格点多边形的面积满足AT2. A\frac T2.A2T​.3. 用欧拉公式计数把上述三角剖分看成一个平面图。顶点数所有内部格点和边界格点都成为顶点因此VIB. VIB.VIB.边界边数边界上有BBB个格点按顺序连接相邻格点恰有BBB条边界边。设总边数为EEE则内部边数为E−BE-BE−B。每个基本三角形有333条边。内部边被两个三角形共用边界边只属于一个三角形因此3T2(E−B)B2E−B. 3T2(E-B)B2E-B.3T2(E−B)B2E−B.所以E3TB2. E\frac{3TB}{2}.E23TB​.该平面图有TTT个三角形面加上外部面共T1T1T1个面。由欧拉公式V−EF2, V-EF2,V−EF2,得V−E(T1)2, V-E(T1)2,V−E(T1)2,即V−ET1. V-ET1.V−ET1.代入VIBVIBVIB和E3TB2E\frac{3TB}{2}E23TB​得IB−3TB2T1. IB-\frac{3TB}{2}T1.IB−23TB​T1.化简IB−3T2−B2T1, IB-\frac{3T}{2}-\frac B2T1,IB−23T​−2B​T1,IB2−T21, I\frac B2-\frac T21,I2B​−2T​1,T2IB−2. T2IB-2.T2IB−2.4. 得到面积公式因为总面积等于TTT个基本三角形面积之和而每个基本三角形面积为12\frac1221​所以AT2. A\frac T2.A2T​.代入T2IB−2T2IB-2T2IB−2得A2IB−22IB2−1. A\frac{2IB-2}{2}I\frac B2-1.A22IB−2​I2B​−1.因此AIB2−1. \boxed{AI\frac B2-1}.AI2B​−1​.毕克定理得证。