刚接触LLC那阵我特别想把增益公式背下来。可翻了一圈资料发现有的公式里用Q有的用λ有的用m还有的干脆直接给一条曲线让照着查。我一度怀疑自己是不是看漏了前提条件。后来花了整整一个周末把从FHA等效到最终增益公式的完整链路亲手推了一遍才明白那些变量只是换了个马甲真正的主角始终是Lr、Cr、Lm和负载电阻这四个“老演员”。这篇我想把这套推导过程完完整整地写出来不是贴一个公式让你背而是告诉你怎么从方波、谐振腔、整流桥一路走到那个漂亮的归一化表达式。如果你正在做电源设计或者刚读研想搞懂LLC又或者已经会“用公式”但偶尔会被别人问住这篇文章应该能帮你把最后那层窗户纸捅破。1. 为什么增益公式不是从天上掉下来的FHA的建模逻辑LLC电路里开关管开关、变压器传递能量、二极管整流到处都是非线性环节按理说没法直接写传递函数。但工程上有个很经典的做法叫 FHAFundamental Harmonic Approximation也就是基波近似法。它的核心思想是虽然输入是一串方波但真正往负载传递有功功率的主要是方波里的基波分量。这个思路之所以成立关键在于LLC谐振槽本身就是一个选频网络。谐振电感和谐振电容在谐振频率附近呈现低阻抗对基波来说是一条“通畅”的路对3次、5次、7次谐波来说谐振槽的阻抗很高谐波电流被压制得很小。所以拿基波来近似整个系统的能量传递在一半情况下误差都在可接受范围内。FHA把LLC拆成三个小模块每个模块都做一次“只留基波”的处理。第一个是开关网络。半桥中点输出的方波电压从0跳到Vin用傅里叶展开基波幅值是2Vin/π。全桥的话输出是±Vin的方波基波幅值是4Vin/π。后面推增益公式时这个常数在归一化过程中会被约掉所以你在很多推导里看不到它但脑子里要留着这个印象。第二个是谐振槽。包括Lr、Cr、Lm。这里Lm是变压器励磁电感不是漏感千万别搞混。在等效电路里Lm和负载是并联关系它们再一起和Lr、Cr串联这是整个LLC增益公式的骨架。第三个是副边整流网络。它有很多种形式全桥整流、中心抽头全波整流、倍流整流。FHA里处理整流网络的方法很有意思一方面变压器副边电压被输出电容箝位成方波幅值就是输出电压Vout另一方面流过整流二极管的电流近似看作是正弦波。方波电压取基波幅值就是4Vout/π电流取正弦有效值两者一配合整流网络就可以等效成一个纯电阻。这个等效电阻要特别注意。以最常用的全桥整流为例等效到原边的交流电阻是R_ac (8 / π²) · n² · R_L其中n是变压器原边匝数比副边匝数R_L是直流负载电阻等于Vout/Iout。这个8/π²不是随便来的它是整流网络里电压方波取基波后和输出功率守恒共同作用的结果。很多刚接触LLC的人会直接把R_L乘以n²搬到原边算出来的Q、增益曲线全都不对问题就出在这个系数上。那FHA什么时候会“不好使”在满载、开关频率接近谐振频率附近它和时域仿真结果相当接近但在轻载、特别低的开关频率下二极管换向时间占比变大死区影响也更明显FHA的误差会显著增加。所以它是设计初期的估算工具不是最终精度的保证。2. 从等效电路到G(fn,Q,k)的完整推导过程现在进入正题。我们把原边等效电路画出来输入端是基波电压源串联Lr、Cr然后分两条支路一条是Lm一条是R_ac。Lm和R_ac并联之后再和Lr、Cr形成分压关系。我定义几个符号后面统一用ω_s 是开关角频率ω_s 2πf_sω_r 是串联谐振角频率ω_r 1 / √(Lr·Cr)fn ω_s / ω_r也就是归一化频率Z0 √(Lr / Cr)谐振槽特征阻抗Q Z0 / R_ac品质因数k Lm / Lr电感比R_ac 是副边负载折算到原边的交流等效电阻这四个参数Lr、Cr、Lm、R_ac一旦定了整个LLC的稳态增益特性就完全定了。很多人推蹦公式后记不住其实是没抓住这套归一化核心。先写出电路的分压关系。设并联谐振支路的阻抗为Z_pZ_p jω_s·Lm ∥ R_ac传递函数H(s)表示负载两端电压和输入电压的比值H(jω_s) Z_p / (jω_s·Lr 1/(jω_s·Cr) Z_p)这个式子直接展开会得到一堆带分数形式的复数手推很容易出错。我建议用导纳法反着写把分母变形为“1 什么东西”的形式后面做归一化会非常干净。设Y_p为并联支路导纳Y_p 1/R_ac 1/(jω_s·Lm) 1/R_ac - j/(ω_s·Lm)于是传递函数变成H(jω_s) 1 / (1 (jω_s·Lr 1/(jω_s·Cr)) · Y_p)你看这一步把原来的并联阻抗分压表达式整理成了单位1加上串臂导纳乘积的形式后面每一小项都容易识别。然后处理括号里的东西。串联支路的阻抗是jω_s·Lr 1/(jω_s·Cr) j(ω_s·Lr - 1/(ω_s·Cr))记x ω_s·Lr - 1/(ω_s·Cr)那括号整体就是jx。接着算(jx) · (1/R_ac - j/(ω_s·Lm)) jx/R_ac x/(ω_s·Lm)这里用到j²-1。代入H的表达式就得到H(jω_s) 1 / (1 x/(ω_s·Lm) jx/R_ac)现在开始归一化。先看x/(ω_s·Lm)这一项x/(ω_s·Lm) (ω_s·Lr - 1/(ω_s·Cr))/(ω_s·Lm) Lr/Lm - 1/(ω_s²·Lm·Cr)第一项就是1/k。第二项里ω_s²·Lm·Cr (ω_s²/ω_r²)·(Lm/Lr) fn²·k所以x/(ω_s·Lm) 1/k - 1/(fn²·k) (1 - 1/fn²)/k再来看jx/R_ac这个纯虚部项。它其实是(ω_s·Lr - 1/(ω_s·Cr))/R_ac (ω_s·Lr/R_ac) · (1 - 1/(ω_s²·Lr·Cr))其中ω_s·Lr/R_ac fn·ω_r·Lr/R_ac fn·Z0/R_ac fn·Q。而1/(ω_s²·Lr·Cr)正好等于1/fn²。所以虚部项变成Q·(fn - 1/fn)至此H的表达式整理成H(jω_s) 1 / [1 (1 - 1/fn²)/k j·Q·(fn - 1/fn)]取模得到LLC谐振槽最基本也最常用的增益公式G 1 / sqrt( (1 1/k - 1/(k·fn²))² Q²·(fn - 1/fn)² )这个公式在论文里有各种变形比如用Lm/Lr的倒数做参数或者把分母整体通分写成这种形式G k·fn² / sqrt( ((k1)·fn² - 1)² Q²·k²·fn²·(fn²-1)² )两种表达式完全等价。前面一种适合手算后面一种在分析空载极点和峰值频率时更直接因为并联谐振频率fn1/√(1k)时第一项恰好为零。这里插一句为什么要定义QZ0/R_ac而不是反过来定义R_ac/Z0。当负载变重时R_ac变小Q变大阻尼变重增益峰值下降。这个定义和“负载越重峰值越低”的物理直觉是一致的。如果反着定义算出来的曲线会把轻载和重载的趋势反过来沟通时非常容易造成混乱。3. 公式推导之后增益曲线到底在说什么公式只是第一步真正有意思的是它描绘出的曲线形态。拿到公式后我建议先做几个极限校验验证自己没算错。第一个极限fn1也就是开关频率恰好等于串联谐振频率时。代入公式第一项变成1第二项变成0G1。这说明无论负载多轻多重只要工作在谐振频率归一化增益都是1。这个现象非常有用LLC的变压器匝比通常在谐振频率附近按额定工作点来定。第二个极限Q0也就是空载。这时候公式退化成G 1 / |1 (1 - 1/fn²)/k|分母在满足k1-1/fn²0时等于零也就是fn1/√(1k)时空载增益趋向无穷大。这个频率对应的正是Lr、Cr、Lm三者一起谐振的并联谐振频率。空载时没有阻尼理论上增益可以冲到无穷大。实际电路中因为有损耗和死区不会真的无穷大但轻载下噪声大、电压冲高的现象本质上都能从这条极限曲线上解释。第三个极限k趋向无穷大也就是Lm比Lr大得多相当于励磁电感不参与工作。增益公式简化成G 1 / sqrt( 1 Q²·(fn - 1/fn)² )这是纯LC串联谐振电路的幅频特性在谐振点附近增益趋近1偏离谐振点后快速衰减。Lm太小会让峰值增益不够Lm太大又会让空载损耗变大、ZVS实现困难所以k的选择是个折中问题。接下来是负载和增益峰值的关系。固定k和fnQ越大增益越低峰值越不明显。这个现象背后是R_ac变小后谐振槽的有载阻尼变大能量更多地消耗在负载上而不是在Lm和负载之间来回振荡。换句话说LLC的重载增益曲线像被“按”下去了一样峰值往谐振频率处靠轻载曲线则会在低频段高高翘起。设计时最怕的就是轻载下增益太高导致输出过压所以很多电源在轻载时要切到间歇模式或降频目的就是把工作点从那个高增益区域拉回来。这里还想多说一句关于感性区和容性区的事情。增益公式只告诉你电压比不告诉你能不能ZVS。LLC要软开关必须工作在感性区也就是输入阻抗呈感性。输入阻抗的表达式可以写成Z_in(jω_s) jω_s·Lr 1/(jω_s·Cr) Z_p它在复数平面上有一个边界边界上虚部为零边界一侧是感性另一侧是容性。增益曲线的峰值点附近通常已经开始进入容性区。如果只盯着增益曲线选工作点选了峰值左边或特别低的频率可能就掉进容性区了。实际调试时表现为MOSFET硬开通、壳体温度异常升高甚至炸管。所以我的建议是推导完增益公式之后顺手把输入阻抗虚部也求出来画在同一个坐标系里。感性区和增益曲线结合来看你才真正知道为什么LLC的典型工作范围是谐振频率附近到略低于谐振频率的某个区间而不是全程任意跑。4. 实际调试中最容易踩的五个增益公式坑公式本身不难难的是用的时候各种细节阴沟翻船。这里把我在设计、仿真、调试中遇到的坑集中在下面。第一Q的定义搞反。有人把Q写成R_ac/Z0画出来的曲线跟标准LLC特性完全相反轻载和重载的趋势倒过来然后怎么调参数都解释不通。统一用QZ0/R_ac和别人交流、看文献时先确认对方的Q定义。第二R_ac的整流拓扑系数用错。前面推导出来的8/π²是副边全桥整流的结果。如果副边用的是中心抽头全波整流等效折算系数不再是8/π²倍流整流又是另一套。很多人拿着全桥LLC的Excel表直接套中心抽头设计算出来的Q和增益工作点差了一大截。最稳妥的办法是拿到任何公式前先看它默认的整流拓扑再自己验算一遍R_ac的推导过程。第三分不清归一化增益和实际直流增益。很多推导里最终公式的G在谐振频率处等于1但这不代表Vout/Vin也等于1。完整的直流增益还包含匝比、输入电压类型、整流拓扑带来的常数。如果你要在设计中使用G来计算最小输入电压下的最大占空比必须先确认公式作者定义的G是什么含义。我自己吃过这个亏套了一个论文的峰值增益公式算出来的最小频率比实际早了10kHz后来才发现他把半桥的输入电压定义和我不一样。第四FHA算出来的曲线在轻载时“太乐观”。FHA假设电流是正弦二极管整流是理想换向但在轻载、低频率时励磁电流占比变大波形畸变明显实际增益会比公式值低一些。用数字仿真去验证FHA预测的增益峰值经常看到偏差。这不算公式错而是模型边界失效。所以FHA用于初步参数设计没问题最终规格书上的最小频率、峰值增益最好用仿真或实测确认。第五只验证了满载没验证轻载和空载。很多工程师调样机时只盯着满载工作点增益公式也只在满载Q下算了一遍。结果换个轻载条件输出电压突然偏高才发现轻载Q小、峰值增益高被自己忽略了。更严格的做法是把满载Q、半载Q、1/4载Q和空载Q的曲线都画出来检查所有工作状态下的最大增益和最小增益。这些坑在书本推导里基本不会写因为书本从数学上都是自洽的但工程上每一步都藏着实际约束。我觉得判断一个工程师到底有没有吃透LLC就看他在这些边界条件上是不是能如数家珍。5. 用Excel和Mathcad把公式跑起来一个可复现的验证例子推导和理论说完还是要落到能跑的验证上。这里给一个简单可复现的例子参数我随便取的只是为了验证公式Lr 10 μHCr 25.3 nFLm 40 μHfr 1 / (2π√(Lr·Cr)) ≈ 100 kHzk Lm / Lr 4Z0 √(Lr/Cr) ≈ 19.9 Ω取R_ac 40 Ω时Q≈0.5R_ac 20 Ω时Q≈1R_ac 100 Ω时Q≈0.2。这三组值分别代表中等负载、重载、轻载。在Excel里A列放fn从0.5到1.5步长0.01B列放公式1/SQRT((11/4-1/(4A1^2))^2(0.5(A1-1/A1))^2)往下拖就能画出一条Q0.5的增益曲线。改B列里的Q值再新增几条列就能对比不同负载。下面我手工算了几个关键频率点的值供你核对。k4Q0.5时fnG0.6约1.300.7约1.210.8约1.130.9约1.061.01.001.1约0.961.2约0.94从这组数可以清楚看到工作在低于谐振频率的区间能得到大于1的升压增益高于谐振频率增益小于1。LLC正是靠着这个特性在输入电压变化时通过调整开关频率来稳住输出。如果把Q改成1同一张表里fn0.7处的增益会降到约0.96fn0.8处约0.98。这说明重载时低频升压能力变差峰值增益点也向谐振频率收拢。验证完公式之后可以用PSIM或SIMPLIS搭一个开环LLC时域仿真固定开关频率测出输出电压再换算成增益和FHA画出的曲线放在一起。我实测下来的经验是在fn为0.9到1.2区间偏差在5%以内fn降到0.6附近时偏差可能到10%以上主要是二极管换向和死区带来的相位滞后导致的。顺便说一个Excel使用细节如果你想把增益曲线和感性区边界画在一起可以在C列放输入阻抗虚部表达式然后用条件格式标记虚部为负的区间。这样一眼就能看出增益峰值左侧通常已经进入容性区设计工作点千万别放那边。我自己喜欢把这条“阻抗虚部0”的曲线和增益曲线画成两张上下对齐的图一张看增益一张看软开关可行性配合起来极其直观。如果你还想再往深走一步可以用增益公式反推设计参数。给定输入电压范围、输出电压、额定功率和期望的最大最小增益联立满载Q和k就能算出Lr、Cr、Lm的初始值。这一步在Mathcad里写目标函数让最小增益对应最大输入电压、最大增益对应最小输入电压几分钟就能扫描出合理参数区间。比直接在Excel里手动试要高效得多。我最后一次完整手推LLC增益公式是在帮同事排查一台低压输入掉电压的电源时。当时查来查去最后发现就是我们在算R_ac时给全波整流套了全桥整流的系数导致Q取小了一截峰值增益估算虚高工作频率早就掉到容性区边缘了。回头再看那个公式每个参数背后都对应一个具体的物理过程。所以如果你也准备开始推公式我的建议很简单别急着背先拿Excel把曲线扫出来再和时域仿真对一下然后回头去看公式里每一项到底在描述什么现象。那之后你再看任何一份LLC设计文档都会觉得清晰很多。