文章目录basis, fockket, bra, zero_ket密度矩阵态的变换basis, fock【basis】是QuTiP 中最基础的量子态构造函数用于在N NN维Hilbert空间中构造第 n 个计算基矢数学上可以表示为一个N × 1 N\times1N×1的列向量∣ n ⟩ [ 0 ⋮ 1 ⋮ 0 ] \Ket n\begin{bmatrix}0\\\vdots\\1\\\vdots\\0\end{bmatrix}∣n⟩​0⋮1⋮0​​其中1 11在第n nn行(从0起算)。在不同的物理场景下basis有不同的含义场景N NNn nn物理意义二能级原子2 220 , 1 0, 10,1基态∣ g ⟩ \ket{g}∣g⟩或激发态∣ e ⟩ \ket{e}∣e⟩谐振腔/光场N NNn nnFock态∣ n ⟩ \ket{n}∣n⟩含n nn个光子自选系统2 220 , 1 0, 10,1∣ ↑ ⟩ \ket{\uparrow}∣↑⟩或∣ ↓ ⟩ \ket{\downarrow}∣↓⟩QuTip中还提供了fock函数表示fock态但从编程角度出发fock和basis的输入输出是完全一致的。ket_0qutip.basis(2,0)ket_1qutip.fock(2,1)N NN和n nn的取值不一定是标量例如在M MM原子系统中N , n N,nN,n均为长度为M MM的列表每一位则表示当前原子的状态。两个qubit共有4种状态其基矢为索引基矢列向量0∣ 00 ⟩ \ket{00}∣00⟩[ 1 , 0 , 0 , 0 ] T [1,0,0,0]^T[1,0,0,0]T1∣ 01 ⟩ \ket{01}∣01⟩[ 0 , 1 , 0 , 0 ] T [0,1,0,0]^T[0,1,0,0]T2∣ 10 ⟩ \ket{10}∣10⟩[ 0 , 0 , 1 , 0 ] T [0,0,1,0]^T[0,0,1,0]T3∣ 11 ⟩ \ket{11}∣11⟩[ 0 , 0 , 0 , 1 ] T [0,0,0,1]^T[0,0,0,1]T示例如下N [ 2 , 2 ] N[2,2]N[2,2]表示每个原子都有2 22种状态[ 0 , 1 ] [0, 1][0,1]表示∣ 01 ⟩ \ket{01}∣01⟩。qutip.basis([2,2],[0,1])ket, bra, zero_ketQuTip中提供了专门的右矢生成函数ket输入参数为字符串或列表。例如01和[ 0 , 1 ] [0, 1][0,1]都表示∣ 01 ⟩ \ket{01}∣01⟩即第一个粒子处于∣ 0 ⟩ \ket0∣0⟩第二个粒子处于∣ 1 ⟩ \ket1∣1⟩。且在输入字符串时QuTip对下列字符进行了数值映射从而∣ 01 ⟩ \ket{01}∣01⟩可以记作ge。字符数值物理含义‘g’0基态‘e’1激发态‘u’0自旋向上‘d’1自旋向下‘H’0水平偏振‘V’1垂直偏振下列四个右矢的返回值完全相同都是[ 0 , 1 , 0 , 0 ] T [0,1,0,0]^T[0,1,0,0]T。qutip.ket([0,1]) qutip.ket(01) qutip.ket(ge) qutip.basis([2,2], [0, 1])QuTip还提供了左矢函数bra其输入参数与ket相同生成方法为ket(...).dag()即⟨ ψ ∣ ∣ ψ ⟩ † \bra{\psi}\ket{\psi}^\dag⟨ψ∣∣ψ⟩†。此外还提供了全0右矢zero_ket输入参数为N NN。密度矩阵在量子力学中描述一个量子系统有两种方式即态矢和密度矩阵。前者一般用来描述确定的量子态∣ ψ ⟩ \ket\psi∣ψ⟩。但大部分情况下系统的量子态是不确定的即以p i p_ipi​的概率处于∣ ψ i ⟩ \ket{\psi_i}∣ψi​⟩这种状态无法用态矢来描述而必须引入密度矩阵。密度矩阵的定义为ρ ∑ i p i ∣ ψ i ⟩ ⟨ ψ i ∣ \rho\sum_i p_i\ket{\psi_i}\bra{\psi_i}ρi∑​pi​∣ψi​⟩⟨ψi​∣密度矩阵有三个基本性质ρ † ρ , ⟨ ϕ ∣ ρ ∣ ϕ ⟩ ⩾ 0 , T r ( ρ ) 1 \rho^\dag\rho, \bra{\phi}\rho\ket\phi\geqslant0, Tr(\rho)1ρ†ρ,⟨ϕ∣ρ∣ϕ⟩⩾0,Tr(ρ)1。QuTip提供了一种最简单的密度矩阵fock_dm(N, n)其返回值是一个N × N N\times NN×N矩阵仅( n , n ) (n,n)(n,n)处元素为1 11其余均为0 00其数学形式为ρ n ∣ n ⟩ ⟨ n ∣ \rho_n\ket n\bra nρn​∣n⟩⟨n∣态的变换在QuTip中可以实现态的多种变换包括共轭转置、归一化、投影等它们彼此之间的关系如下。.dag() Ket ──────────────► Bra │ │ │ .proj() │ .proj() │ ket2dm() │ ket2dm() ▼ ▼ Density Matrix ◄──── Density Matrix │ │ projection(n, m) ▼ 投影算符 / 跃迁算符变换数学原理QuTip实现共轭转置∣ ψ ⟩ † \ket\psi^\dag∣ψ⟩†Q.dag()归一化∣ ψ ⟩ ~ ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ ψ ⟩ \tilde{\ket\psi}\frac{\ket\psi}{\sqrt{\bra\psi\psi\rangle}}∣ψ⟩~​⟨ψ∣ψ⟩​∣ψ⟩​Q.unit()转密度矩阵ρ ∣ ψ ⟩ ⟨ ψ ∣ \rho\ket\psi\bra\psiρ∣ψ⟩⟨ψ∣Q.proj,qutip.ket2dm(Q)投影算符P n m ∣ m ⟩ ⟨ n ∣ P_{nm}\ket m\bra nPnm​∣m⟩⟨n∣qutip.projection(N, n, m)